Курчатов, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

На каждом участке полёта найдите скорость сближения вертолёта с авианосцем. Не забудьте, что во время зависания авианосцы продолжают двигаться.

\(48\) минут;  путь вертолёта \(84\text{ км}\).

В первой части полёта вертолёт и второй авианосец сближаются со скоростью \(180\text{ км/ч}\), значит, вертолёт долетит до второго авианосца за время \(t_1 = \dfrac{60\text{ км}}{180\text{ км/ч}} = 20\) мин. Затем в течение времени \(t_2 = 18\) минут вертолёт двигался вместе со вторым авианосцем. За \(t_1 + t_2 = 38\) минут авианосцы сблизятся на \(\dfrac{50\text{ км/ч}\cdot 38}{60\text{ ч}} = \dfrac{95}{3}\text{ км}\), и расстояние между ними будет равно \(60 - \dfrac{95}{3} = \dfrac{85}{3}\text{ км}\). Скорость сближения вертолёта и первого авианосца \(170\text{ км/ч}\), обратный путь займёт время \[t_3 = \frac{\dfrac{85}{3}\text{ км}}{170\text{ км/ч}} = \frac{1}{6}\text{ ч} = 10\text{ мин}.\] Полное время отсутствия вертолёта \[t = t_1 + t_2 + t_3 = 48\text{ мин}.\] Вертолёт время \(t_1 + t_3 = 30\) мин двигался со скоростью \(150\text{ км/ч}\), а время \(t_2 = 18\) мин двигался вместе со вторым авианосцем, поэтому путь, пройденный вертолётом, равен \[s = 150\text{ км/ч}\cdot\frac{1}{2}\text{ ч} + 30\text{ км/ч}\cdot\frac{3}{10}\text{ ч} = 84\text{ км}.\]

Разложите движение точки диска на поступательное движение центра и вращение относительно центра. Какова скорость точки края при вращении, если проскальзывания нет?

\(v = \sqrt{3}\,v_0\).

Проскальзывание отсутствует, следовательно, все точки на краю диска вращаются относительно центра со скоростью \(v_0\). Полная скорость точки складывается из скорости вращательного движения и скорости поступательного движения центра. Скорость вращательного движения равна по модулю \(v_0\) и направлена горизонтально (поскольку это самая верхняя точка диска), а скорость центра по модулю также равна \(v_0\) и направлена под углом \(60^\circ\) к горизонту. Значит, вертикальная составляющая скорости центра равна \(v_0\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0\), а горизонтальная — \(v_0\cos 60^\circ = \dfrac{v_0}{2}\). Вертикальная составляющая полной скорости равна \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}v_0\), а горизонтальная составляющая полной скорости равна \(v_0 + \dfrac{v_0}{2} = \dfrac{3}{2}v_0\). Модуль полной скорости по теореме Пифагора: \[v = \sqrt{\frac{3}{4}v_0^2 + \frac{9}{4}v_0^2} = \sqrt{3}\,v_0.\]

Поскольку нить нерастяжимая, скорости грузов связаны. Запишите закон сохранения энергии системы грузов: какой груз опустился и на какую высоту.

\(v = \sqrt{\dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,gh}\); правый груз движется вниз, левый — вверх с той же по модулю скоростью.

Поскольку нить нерастяжима, скорости грузов в любой момент равны по модулю и противоположны по направлению. Правый груз тяжелее, следовательно, его скорость направлена вертикально вниз, а скорость левого — вертикально вверх. Чтобы найти модуль скорости, воспользуемся законом сохранения энергии. Правый груз опустился на \(h/2\), а левый поднялся на \(h/2\): \[\frac{(m_1 + m_2)v^2}{2} = (m_1 - m_2)\,g\,\frac{h}{2}.\] Отсюда \[v = \sqrt{\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,gh}.\]

Потребляемая мощность находится по закону Джоуля–Ленца. Полезная мощность — это мощность, идущая на испарение воды, масса которой уменьшилась за время \(t\).

\(\eta \approx 28\%\).

Потребляемая плитой мощность равна \(P_0 = \dfrac{U^2}{R} = 968\text{ Вт}\). Полезная мощность идёт на испарение воды: \[P_1 = \frac{L\,\Delta m}{\Delta t} = \frac{L\rho S h}{t} \approx 268\text{ Вт}.\] КПД электроплиты: \[\eta = \frac{P_1}{P_0} \approx 28\%.\]

Какие точки схемы соединены проводом без сопротивления и их можно объединить в один узел? После этого найдите сопротивления параллельных и последовательных участков.

\(R_{AF} = \dfrac{3}{5}R = 72\text{ кОм}\).

Точки \(B\) и \(D\) соединены проводом с пренебрежимо малым сопротивлением, поэтому их можно объединить в одну. Между точками \(B\) и \(C\) два резистора соединены параллельно, их можно заменить одним с сопротивлением \(R/2\). На участке \(BCE\) теперь имеется два резистора, соединённых последовательно, их можно заменить одним с сопротивлением \[\frac{R}{2} + R = \frac{3}{2}R.\] В итоге получилась схема из двух параллельных участков, сопротивление которой \[R_{AF} = \frac{1}{\dfrac{1}{R} + \dfrac{2}{3R}} = \frac{3}{5}R = 72\text{ кОм}.\]