Курчатов, 2017/18, заключительный этап, 10 класс

Для каждого из двух режимов вращения запишите второй закон Ньютона в проекции на направление жгута: сила натяжения жгута создаёт центростремительное ускорение.

1) \(\omega \approx 3{,}14\) рад/с;  2) \(l_0 = 70\) см;  3) \(m \approx 8{,}0\) кг.

Частота обращения \(\nu = 30\ \text{мин}^{-1} = 0{,}5\) Гц, угловая скорость \[\omega = 2\pi\nu \approx 3{,}14\ \frac{\text{рад}}{\text{с}}.\] Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось, направленную вдоль жгута к закреплённому концу, в двух случаях (до и после увеличения угловой скорости): \[\begin{cases} k(l_1-l_0) = m\omega^2 l_1, \\ k(l_2-l_0) = m(2\omega)^2 l_2. \end{cases}\] Разделив второе уравнение системы на первое, получим \[\frac{l_2-l_0}{l_1-l_0} = 4\,\frac{l_2}{l_1}, \quad \text{откуда} \quad l_0 = \frac{3l_1l_2}{4l_2-l_1} = 70 \text{ см}.\] Из первого уравнения системы \[m = \frac{k(l_1-l_0)}{\omega^2 l_1} \approx 8{,}0 \text{ кг}.\]

Центр масс системы движется с ускорением \(g\), так как внешняя сила — только тяжесть. Запишите закон сохранения энергии для момента максимального удлинения, когда скорости грузов одинаковы.

\(x_1 = 2\) см;  \(x_2 = 2\) см.

Сила упругости пружины в начальный момент уравновешивала силу тяжести, действующую на нижний груз: \[kx_1 = mg, \quad \text{откуда} \quad x_1 = \frac{mg}{k} = 2 \text{ см}.\] Центр масс системы движется равноускоренно с ускорением \(g\). Пусть через время \(t\) после начала движения удлинение пружины максимально. В этот момент скорости грузов должны быть равны: \(v_1 = v_2 = v = gt\). Центр масс за это время опустится на \(gt^2/2\), верхний груз — на \(gt^2/2 + x_1 - x_2\), нижний груз — на \(gt^2/2 - x_1 + x_2\). Запишем закон сохранения механической энергии: \[mg\left(\frac{gt^2}{2}-x_1+x_2\right) + mg\left(\frac{gt^2}{2}+x_1-x_2\right) + \frac{kx_1^2}{2} = \frac{2m(gt)^2}{2} + \frac{kx_2^2}{2}.\] Отсюда \[x_2 = x_1 = 2 \text{ см}.\]

Сила взаимодействия зарядов не меняется, если произведение зарядов одно и то же. После контакта заряды шариков одинаковы.

\(q_1 = q_2 = -0{,}1\) мкКл;  \(r \approx 17\) см.

Пусть исходные заряды шариков равны \(q_1\) и \(q_2\), а изменение зарядов шариков \(\Delta q = +0{,}2\) мкКл. После изменения зарядов шариков сила взаимодействия не изменилась, следовательно \[q_1q_2 = (q_1+\Delta q)(q_2+\Delta q), \quad \text{откуда} \quad q_1+q_2 = -\Delta q.\] Шарики одинаковые, поэтому после контакта заряды на шариках должны быть одинаковы и равны \(q\). По закону сохранения заряда \(2q = q_1+q_2 = -\Delta q\). Приравняем силы взаимодействия в первом и третьем случаях: \(q_1q_2 = q^2 = \dfrac14\Delta q^2\), а с учётом \(q_2 = -\Delta q - q_1\) получаем \[q_1 = -\frac{\Delta q}{2} = -0{,}1 \text{ мкКл}, \quad q_2 = -\frac{\Delta q}{2} = -0{,}1 \text{ мкКл}.\] По закону Кулона \[k\,\frac{q_1q_2}{r^2} = k\,\frac{\Delta q^2}{4r^2} = 3 \text{ мН}.\] Расстояние между шариками \[r = \frac{\Delta q}{2}\sqrt{\frac{k}{3 \text{ мН}}} \approx 17 \text{ см}.\]

Давление слева и справа от поршня одинаково, а сумма объёмов постоянна. Какой процесс идёт с газом справа, если его температура постоянна?

Поскольку поршень может свободно двигаться вдоль цилиндра, давление в левой и правой частях цилиндра всегда будет одинаково. Газ в правой части сосуда сжимают при постоянной температуре \(T_0\). Процессу, совершаемому над этим газом, соответствует изотерма, показанная пунктиром на рисунке:

На сколько уменьшается объём газа в правой части сосуда, на столько же увеличивается объём газа в левой части сосуда. Поэтому на \(pV\)-диаграмме график процесса, совершаемого над газом в левой части сосуда, получается из изотермы для газа в правой части отражением относительно вертикальной прямой. Итак, искомый график начинается в точке \((p_0; V_0)\) и показан сплошной линией на рисунке. Данный график имеет вертикальную асимптоту \(V = 3V_0\).

Диод либо пропускает ток, либо нет. Рассмотрите открытый диод: его можно убрать из эквивалентной схемы, а ток через него найти как сумму токов по двум параллельным ветвям.

\(I = 1{,}25\) мА.

В зависимости от полярности подключения источника диод может быть либо закрыт, либо открыт. В случае, когда диод закрыт, сила тока через него равна нулю. Рассмотрим второй случай, когда диод открыт. Поскольку диод идеальный, в эквивалентной схеме его можно убрать:

Сила тока, текущего через диод, равна \(I = I_1 + I_2\). По закону Ома: \[I_2 = \frac{U}{R} = 1 \text{ мА}, \qquad I_1 = \frac{U/2}{2R} = 0{,}25 \text{ мА}.\] Окончательно, \(I = 1{,}25\) мА.