Курчатов, 2017/18, заключительный этап, 7 класс

Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. По графику найдите путь и скорость на каждом участке, а затем время движения на каждом из них.

\(v_{\text{ср}} = \dfrac{24}{13}\,v_0\).

Запишем формулу для средней скорости: \[v_{\text{ср}} = \frac{4L}{t_1+t_2+t_3}.\] В нашем случае: \(t_1 = \dfrac{L}{v_0}\), \(t_2 = \dfrac{2L}{3v_0}\), \(t_3 = \dfrac{L}{2v_0}\). Подставляя данные в формулу, окончательно получим: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{24}{13}\,v_0\).

Плотность робота равна полной массе, делённой на полный объём. Выразите массы частей через плотность оставшейся части тела \(\rho_т\) и объём головы \(V_г\).

\(\dfrac{\rho_в}{\rho_п} = 2{,}8\).

Запишем формулу для определения плотности тела. В случае робота Васи: \[\rho_в = \frac{m_т+m_г}{V_т+V_г} = \frac{\rho_т\,20V_г+50\rho_т V_г}{21V_г} = \frac{70}{21}\,\rho_т.\] Для Петиного робота: \[\rho_п = \frac{m_т+m_г}{V_т+V_г} = \frac{\rho_т\,20V_г+5\rho_т V_г}{21V_г} = \frac{25}{21}\,\rho_т.\] Окончательно найдём: \[\frac{\rho_в}{\rho_п} = 2{,}8.\]

Пружины, соединённые параллельно, складываются по жёсткости, а последовательно — по обратным жёсткостям. Найдите, какие группы пружин соединены последовательно в эспандере.

\(\dfrac{k_{\text{эсп}}}{k_{\text{посл}}} = \dfrac{108}{49} \approx 2{,}2\); максимальная жёсткость — при параллельном соединении всех пружин.

Данную систему можно представить, как три пружины различной жёсткости, соединённых последовательно. Таким образом, справедлива следующая формула: \[\frac{1}{k_{\text{эсп}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2'} + \frac{1}{k_3'},\] где \(k_2' = 2k_2\), \(k_3' = 3k_3\). Получим значение для \(k_{\text{эсп}} = \dfrac{3600}{49}\ \dfrac{\text{Н}}{\text{м}}\).

Если все пружины соединить последовательно, то \[\frac{1}{k_{\text{посл}}} = \frac{1}{k_1} + \frac{2}{k_2} + \frac{3}{k_3}.\] Значит \(k_{\text{посл}} = \dfrac{100}{3}\ \dfrac{\text{Н}}{\text{м}}\), окончательно получаем: \[\frac{k_{\text{эсп}}}{k_{\text{посл}}} = \frac{108}{49}.\] Максимальная жёсткость будет в том случае, если все пружины соединить параллельно друг другу.

Кубик плавает, значит, сила тяжести уравновешена суммарной архимедовой силой от ртути и воды. Запишите это условие через погружённые объёмы.

\(h_в \approx 7{,}5\) см.

Так как кубик находится в равновесии, то сила тяжести уравновешивается силами Архимеда, действующими вверх. Обозначим длину ребра кубика через \(a\), площадь основания — \(S\).

Запишем условие, при котором кубик находится в равновесии: \[\rho_м g a S = \rho_{рт} g S (a-h_в) + \rho_в g S h_в.\] Выразим искомую величину: \[h_в = \frac{\rho_{рт}-\rho_м}{\rho_{рт}-\rho_в}\,a.\] Подставляя численные данные, получим \(h_в \approx 7{,}5\) см.

Площадь Крыма известна, поэтому по числу клеток карты можно найти площадь одной клетки. Затем оцените расстояние между городами, посчитав клетки вдоль прямой линии.

\(L \approx 148{,}5\) км.

Для определения площади одного квадратика воспользуемся формулой палетки: \[S = (a+0{,}5b)\,c,\] где \(a\) — количество целых клеточек, \(b\) — количество нецелых клеток, попавших на карту Крыма, \(c\) — площадь одной клетки.

Приблизительные вычисления дают следующий результат: \(a=250\); \(b=50\). Зная площадь Крыма, определяем значение \(c = 98\) км\(^2\). Посчитав, что от Красноперекопска до Бахчисарая 15 клеток в длину (практически по прямой), определим расстояние \(L\) по формуле: \[L = 15\sqrt{c} \approx 148{,}5 \text{ км}.\]