зад 1 Последняя секунда падения
Тело свободно падает без начальной скорости с некоторой высоты \(H\) и за последнюю секунду своего падения проходит путь в 3 раза больший, чем за всё остальное время падения. Вычислите высоту \(H\). Ускорение свободного падения примите равным \(g = 10~\text{м/с}^2\), сопротивление воздуха не учитывайте.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите путь за всё время падения и путь за всё время, кроме последней секунды, через полное время падения \(t\) и сравните их.
▶ОтветСкрыть
\(H = 20~\text{м}\).
▶РешениеСкрыть
Путь, пройденный телом за последнюю секунду, равен \(\tfrac{3}{4}H\), а перед этим пройден путь \(\tfrac{1}{4}H\). Пусть \(t\) — полное время падения, а \(\tau = 1~\text{с}\). Тогда \(H = gt^2/2\) и \(\tfrac{1}{4}H = g(t-\tau)^2/2\). Получаем \[gt^2 = 4g(t-\tau)^2, \quad \text{откуда} \quad t = 2\tau = 2~\text{с}.\] Окончательно \[H = \frac{gt^2}{2} = 20~\text{м}.\]
зад 2 Груз на упругом жгуте
Один конец лёгкого упругого жгута закреплён, а к другому привязан груз массой \(m = 2~\text{кг}\), который движется в горизонтальной плоскости по окружности вокруг закреплённого конца жгута, совершая 90 оборотов в минуту. Коэффициент жёсткости жгута \(k = 700~\text{Н/м}\), его длина в недеформированном состоянии \(1~\text{см}\).
Рассчитайте угловую скорость \(\omega\) груза.
Найдите длину жгута \(l\).
▶ПодсказкаСкрыть
Частоту переведите в герцы. Второй закон Ньютона для груза запишите в проекции на направление жгута, учтя закон Гука для его удлинения.
▶ОтветСкрыть
1) \(\omega \approx 9{,}4~\text{рад/с}\); 2) \(l \approx 1{,}34~\text{см}\).
▶РешениеСкрыть
Частота обращения \(\nu = 90~\text{мин}^{-1} = 1{,}5~\text{Гц}\), угловая скорость \[\omega = 2\pi\nu \approx 9{,}4~\text{рад/с}.\] Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось, направленную вдоль жгута к неподвижному концу: \[k(l - l_0) = m\omega^2 l, \quad \text{откуда} \quad l = \frac{k}{k - m\omega^2}\, l_0 \approx 1{,}34~\text{см}.\]
зад 3 Цилиндр в двух жидкостях
Сплошной однородный цилиндр из материала с плотностью \(\rho = 900~\text{кг/м}^3\) плавает в сосуде, заполненном двумя несмешивающимися жидкостями (рис. 1). Плотности жидкостей \(\rho_1 = 1000~\text{кг/м}^3\) и \(\rho_2 = 800~\text{кг/м}^3\), верхняя грань цилиндра параллельна уровню жидкости и выступает над ним на \(a = 1\) см. Высота цилиндра \(h = 12\) см. Найдите толщину \(x\) слоя верхней жидкости.
▶ПодсказкаСкрыть
Сверху находится жидкость с меньшей плотностью. Запишите условие плавания цилиндра, приравняв силу тяжести сумме архимедовых сил в обеих жидкостях.
▶ОтветСкрыть
\(x = 1\) см.
▶РешениеСкрыть
Сверху в сосуде будет находиться жидкость с меньшей плотностью \(\rho_2\). Пусть площадь поперечного сечения цилиндра равна \(S\), тогда объём цилиндра равен \(Sh\), объём части, погружённой в верхнюю жидкость, равен \(Sx\), объём части, погружённой в нижнюю жидкость, равен \(S(h - a - x)\). Запишем условие плавания цилиндра: \[\rho g S h = \rho_1 g S (h - a - x) + \rho_2 g S x, \quad \text{откуда} \quad x = \frac{(\rho_1 - \rho)h - \rho_1 a}{\rho_1 - \rho_2} = 1~\text{см}.\]
зад 4 Смешивание воды в калориметре
В калориметре смешали \(m_1 = 100\) г воды, имеющей температуру \(t_1 = 20~^\circ\text{C}\), и \(m_2 = 50\) г воды, имеющей температуру \(t_2 = 50~^\circ\text{C}\). Найдите температуру \(t_3\) смеси. Сколько ещё воды, взятой при температуре \(t_4 = 60~^\circ\text{C}\) нужно долить в калориметр, чтобы в нём установилась температура \(t_5 = 40~^\circ\text{C}\)? Потерями тепла можно пренебречь.
▶ОтветСкрыть
\(t_3 = 30~^\circ\text{C}\); \(m_3 = 75\) г.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(c\) — удельная теплоёмкость воды. Запишем уравнение теплового баланса для первого случая: \[c m_1 (t_3 - t_1) = c m_2 (t_2 - t_3), \quad \text{откуда} \quad t_3 = 30~^\circ\text{C}.\] Найдём массу воды \(m_3\), которую необходимо долить: \[c (m_1 + m_2)(t_5 - t_3) = c m_3 (t_4 - t_5), \quad \text{откуда} \quad m_3 = 75~\text{г}.\]
зад 5 Диод и два резистора
Из идеального диода \(D\) и двух резисторов собрана электрическая цепь, схема которой показана на рисунке 2. Школьник Иннокентий измерил с помощью омметра сопротивление между клеммами \(A\) и \(B\). Прибор показал значение \(30~\text{кОм}\). Затем Иннокентий изменил полярность подключения омметра и вновь измерил сопротивление между \(A\) и \(B\). В этот раз прибор показал сопротивление \(12~\text{кОм}\). Помогите Иннокентию вычислить сопротивления резисторов \(R_1\) и \(R_2\).
▶ОтветСкрыть
\(R_1 = 20\) кОм; \(R_2 = 30\) кОм.
▶РешениеСкрыть
Показания прибора при первом измерении оказываются больше, чем при втором, потому что в первый раз диод был закрыт и прибор показал сопротивление резистора \(R_2\). То есть \(R_2 = 30\) кОм. Во второй раз диод открылся и омметр показал сопротивление двух резисторов, соединённых параллельно: \[\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 12~\text{кОм}, \quad \text{откуда} \quad R_1 = 20~\text{кОм}.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2017/18, заключительный этап, 9 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.