Курчатов, 2018/19, заключительный этап, 7 класс

Запишите полное время подъёма мальчика и лифта через время подъёма на один этаж и время поворотов, затем приравняйте их.

На 9 этаже.

Введём обозначения: \(t_1\) — время подъёма мальчика на один этаж до \(k\) этажа, без учёта задержки на поворотах; \(t_2\) — время подъёма мальчика на один этаж после \(k\) этажа, без учёта задержки на поворотах; \(t_3\) — время на один поворот; \(t_4\) — время, нужное лифту для подъёма на 1 этаж.

Так как добрались они одновременно, то \[(k-1)t_1 + (n-k)t_2 + (2n-3)t_3 = (n-1)t_4 .\] Известно из условия задачи, что \(k = 6\); \(t_2 = t_4 = t\) — после 6 этажа мальчик поднимался с той же скоростью, что и лифт; \(t_3 = 1\ \text{с}\) — тратил на поворот 1 секунду; \(t_1 + t_3 = t_4 - 2\) — добрался до 2 этажа на 2 секунды быстрее, чем лифт.

Решая эту систему, находим \(n = 9\).

Обозначьте массы всех овощей и переведите условие в систему равенств и неравенств; массу морковки удобно принять за единицу.

2 баклажана.

Составим систему, отвечающую условию задачи, обозначив массы баклажана, кабачка, картофелины и морковки как \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\), \(m_4\): \[m_1 + m_2 = 3m_3 + m_4, \qquad 2m_1 = 4m_4 + m_2 ,\] \[m_2 + 2m_3 < 5m_4 < 2m_2 + m_3 .\] Получаем, что \(\dfrac{44}{15} < m_1 < \dfrac{37}{12}\), приняв массу морковки \(m_4 = 1\).

Теперь будем проверять, сколько баклажанов надо взять, чтобы \(n m_1 > m_2 + m_3 + 2m_4\). Если возьмём один, то получим \(m_1 < \dfrac{11}{6}\) — не подходит. Если возьмём два, то получим \(m_1 < \dfrac{11}{3}\) — подходит.

Плот держится на воде, пока сила Архимеда больше веса плота и пассажиров; запишите это условие для обоих случаев.

9 солдатиков.

Солдатик переправится, если сила Архимеда, действующая на плот, больше массы плота и пассажиров. Условие, что грузоподъёмность плота равна массе четырёх солдатиков, можно записать как \(V\rho_0 = M + n_1 m\), где \(V\) — объём плота, \(\rho_0\) — плотность воды, \(n_1\) — число солдатиков, \(m\) — масса одного солдатика, \(M\) — масса плота. Приклеив мыльницу, мы увеличим объём нашего транспорта в два раза и лишь незначительно увеличим его массу. Таким образом, можно записать \(2V\rho_0 > M + n_2 m\), где \(n_2\) — число пассажиров во втором случае. Учтём, что \(M = V\rho_1\); получим \(n_2 = 13\).

Давление на воду под поршнем создаётся весом поршня и силой пружины; приравняйте его к гидростатическому давлению до и после долива.

\(246\ \text{см}^3\).

Доливая воду в трубку, мы увеличиваем давление в цилиндре, что и приводит к растяжению пружины. Обозначим через \(k\) — жёсткость пружины, \(S\) — площадь поперечного сечения цилиндра, \(s\) — площадь поперечного сечения трубки, \(h_1\), \(h_2\) — высота столба воды в трубке до и после того, как долили воду, \(x_1\), \(x_2\) — деформация пружины до и после того, как долили воду.

Приравняем давление, которое оказывает поршень с пружиной на воду, к гидростатическому давлению, получим \[mg + kx_{1,2} = (S-s)\rho g h_{1,2} .\] Выразим объём воды, добавленной в систему, как \[V = (x_2 - x_1)S + (h_2 - h_1)s .\] Решая систему, находим \(V\).

Ребятам выгодно ехать на велосипеде по очереди; подберите точку, в которой велосипед передаётся так, чтобы оба пришли одновременно.

\(t = 6{,}7\ \text{ч}\).

Поскольку ребята не могут ехать на велосипеде вдвоём, чтобы существенно сократить время движения, им надо ехать на нём по очереди. Пусть один из них проехал первую часть пути длиной \(x\) на велосипеде со скоростью \(24\ \text{км/ч}\), а оставшуюся часть пути длиной \(60-x\) прошёл со скоростью \(6\ \text{км/ч}\); тогда второй сначала шёл со скоростью \(5\ \text{км/ч}\), а потом ехал на велосипеде. Чтобы как можно раньше добраться до деревни, надо найти такой \(x\), при котором они прибыли туда одновременно: \[\frac{x}{24} + \frac{60-x}{6} = \frac{x}{5} + \frac{60-x}{24} ,\] откуда получим \(x = 900/34\ \text{км}\), и потом найдём время движения.