Курчатов, 2018/19, заключительный этап, 8 класс

Сравните уровень воды для свободной льдины и для льдины, привязанной ко дну: что изменится при таянии в первом случае?

\(78{,}5\ \text{Н}\).

Для решения задачи полезно рассмотреть случай, когда льдина не притянута ко дну бочки. В таком случае, когда льдина растает, уровень воды в бочке не изменится, т. к. сила Архимеда, действующая на льдину, равна массе воды в объёме \(V\), вытесненном льдиной, и льдина, растаяв, не изменит своей массы и займёт ровно этот объём \(V\). Если мы притянем льдину ко дну, то уровень воды в бочке повысится на уровень \(h\), такой что \(V_1 = hS\), где \(S\) — площадь поперечного сечения бочки, а \(V_1 + V\) — объём льдины под водой. Силу натяжения нити найдём из условия, что льдина находится в равновесии, т. е. равнодействующая сил, действующих на льдину, равна нулю: \[T = F_a - mg = (V + V_1)\rho g - V\rho g = V_1\rho g .\]

Учтите, что вода теряет тепло в окружающую среду и при нагревании, и при остывании; потери считайте одинаковыми в обоих случаях.

\(1540\ \text{Дж/с}\).

Рассмотрим указанную систему, учитывая теплообмен между водой и кипятильником, а также между водой и окружающей средой. Для простоты можно считать мощность теплообмена с окружающей средой постоянной в пределах указанного диапазона температур.

Когда воду нагревают, следует учесть подвод тепла от кипятильника \(N_1\) и отвод тепла в окружающую среду \(N_0\): \[(N_1 - N_0)\tau = \Delta t_1\, mc ,\] где \(\tau = 1\ \text{мин}\), \(\Delta t_1 = 10\ ^\circ\text{C}\), \(m = 2\ \text{кг}\), \(c = 4200\ \text{Дж/(кг}\cdot{}^\circ\text{C)}\).

Когда кипятильник отключают, учитываются только потери тепла в окружающую среду: \[N_0\tau = \Delta t_2\, mc ,\] где \(\Delta t_2 = 1\ ^\circ\text{C}\).

Используйте симметрию схемы относительно диагонали и то, что токи, текущие по участкам с одинаковыми цифрами, равны.

\(1{,}5\ \text{Ом}\).

Выберем на схеме направление токов и отметим одинаковыми цифрами участки цепи, по которым текут равные токи, учитывая, что система симметрична относительно диагонали \(AB\) и сопротивление всех резисторов одинаково (см. рисунок). Если мы поменяем полярность, то направление всех токов изменится на противоположное, а абсолютное значение не изменится. Теперь повернём схему на \(180^\circ\) и увидим, что она совпала с исходной, значит \(I_1 = I_5\), \(I_2 = I_4\). Рассмотрим, чему равно падение напряжения между точками \(C\) и \(D\). Так как падение напряжения не зависит от пути, то обязательно \(I_2 = I_3\). Кроме того, из закона сохранения заряда известно, что сумма токов, которые втекают в некоторый узел, равна сумме токов, которые из него вытекают, значит \(I_2 = I_1/2\). Запишем, чему равно падение напряжения между точками \(A\) и \(B\), откуда найдём полное сопротивление цепи \(R_0\): \[U_{AB} = R_0 I_0 = 2R_0 I_1 ,\] \[U_{AB} = R I_1 + R I_2 + R I_2 + R I_1 = 3R I_1 .\] Получаем \(R_0 = 1{,}5R\).

Ребятам выгодно ехать на велосипеде по очереди; подберите точку передачи велосипеда, в которой оба прибывают одновременно.

\(t = 6{,}8\ \text{ч}\).

Поскольку они не могут ехать на велосипеде вдвоём, чтобы существенно сократить время движения, им надо ехать на нём по очереди. Пусть один из них проехал первую часть пути длиной \(x\) на велосипеде со скоростью \(28\ \text{км/ч}\), а оставшуюся часть пути длиной \(80-x\) прошёл со скоростью \(7\ \text{км/ч}\); тогда второй сначала шёл со скоростью \(8\ \text{км/ч}\), а потом ехал на велосипеде. Чтобы как можно раньше добраться до деревни, надо найти такой \(x\), при котором они прибыли туда одновременно: \[\frac{x}{28} + \frac{80-x}{7} = \frac{x}{8} + \frac{80-x}{28} ,\] откуда получим \(x = 480/11\ \text{км}\), и потом найдём время движения.

Тележка должна подняться над осью переворота: посчитайте, какую энергию надо сообщить тележке, чтобы её центр тяжести поднялся до верхней точки.

\(2\ \text{см}\).

Если тележка смогла перевернуться, значит, она обладала для этого достаточной энергией, которую она набрала, скатившись с горки. Во время переворота центр тяжести тележки поднимается на высоту \[h = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} .\] Минимальная энергия, необходимая для этого, равна \(mgh\), при которой в верхней точке переворота скорость тележки равна \(0\). Записав закон сохранения энергии, получим, что высота горки \[H > \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{4}} - \frac{b}{2} .\]