Курчатов, 2018/19, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Траектория ядра — парабола. Задайте её через две точки (над стенкой и на земле у мишени), выразите скорость через высоту пролёта и найдите минимум.

Ответ

\(v > 66{,}7\ \text{м/с}\).

Решение

Обозначим за \(l\) расстояние от стенки до мишени, за \(h\) — высоту, на которой пролетело ядро на расстоянии \(l\) до мишени. Известно, что тело в поле тяжести движется по параболе \(y = c - ax^2\), при этом точки \((l, h)\) и \((2l, 0)\) принадлежат этой кривой. Находим, что \(c = \dfrac{4}{3}h\).

Начальную скорость \(v\) можно найти из теоремы Пифагора, зная проекции скорости на координатные оси. Из закона сохранения энергии найдём \(v_y = \sqrt{2gc}\). Записав уравнения движения в проекции на оси \(x\) и \(y\), найдём \(v_x = l\sqrt{\dfrac{2g}{c}}\). Подставляя, находим: \[v = \sqrt{\frac{l^2\cdot 3g}{2h} + \frac{8gh}{3}} ,\] где \(h > 120\ \text{м}\) — условие, что ядро пролетело выше стенки. Кроме того, при \(h = 120\ \text{м}\) скорость будет минимальна, т. к. в этом случае уже \(v_x < v_y\).

Подсказка

Шар лежит на дне, если момент силы тяжести ручки относительно точки касания шара с дном не меньше момента силы Архимеда шара и силы тяжести шара.

Ответ

\(M = 2V(\rho_1 - \rho_2)\).

Решение

На деревянный шар в воде действуют сила Архимеда и сила тяжести. Ручка тонкая, поэтому воздействием силы Архимеда на неё можно пренебречь. Чтобы найти условие, при котором шар будет лежать на дне, требуется записать уравнение моментов: \[gV(\rho_1 - \rho_2) = \frac{gM}{2} .\]

Подсказка

Используйте симметрию схемы относительно диагонали и поворот на \(180^\circ\): часть узлов имеет одинаковый потенциал и их можно соединить или разомкнуть.

Ответ

\(\dfrac{13}{7}\ \text{Ом}\).

Решение

Учитывая симметрию системы, можно существенно упростить данную схему. Во-первых, система симметрична относительно диагонали \(AB\); во-вторых, поменяв полярность и развернув схему на \(180^\circ\), можно совместить её саму с собой; в-третьих, можно размыкать узлы, между которыми не течёт ток. Полностью упрощённая схема требует только знания правил последовательного и параллельного соединения проводников.

Подсказка

Сначала растягивается только вторая пружина, пока сила не превысит трение пола о нижний брусок; затем бруски движутся вместе, и растягивается первая пружина.

Ответ

\(S = 3000\ \text{см}^2\).

Решение

Будем предполагать, что движение происходит равномерно и настолько медленно, что можно пренебречь ускорением.

Пока \(kx_2 < \mu_1\cdot 2mg\), бруски покоятся, растягивается только 2 пружина.

Когда \(kx_2 > \mu_1\cdot 2mg\), оба бруска будут двигаться как целое, при этом \(x_2 = x_1 + \dfrac{2mg\mu_1}{k}\).

Как только \(kx_2 = mg\mu_2\), бруски станут двигаться относительно друг друга.

Подсказка

Запишите уравнения равновесия каждого груза в проекциях на перпендикуляр к плоскости и на ось вдоль неё; стержень передаёт силу \(T\) вдоль себя.

Ответ

\(30^\circ\).

Решение

Требуется записать уравнения Ньютона для каждого бруска в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Будем считать первым левый брусок, а правый вторым. Понадобятся уравнения: \[N_2\cos\alpha = m_2 g + T\sin\beta ,\] \[N_2\sin\alpha = T\cos\beta ,\] \[T\sin\beta = m_1 g .\] Решая систему, получаем: \[\operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}\cdot\frac{m_1}{m_1+m_2} .\]