зад 1 Ведро с водой и плавающий шар
Масса металлического ведра, до краёв заполненного водой, равна 14 килограммам. В ведро поместили такой шар, что он плавает на поверхности воды, погрузившись в него ровно наполовину. Найдите массу ведра с водой и погружённым в него шаром.
▶ПодсказкаСкрыть
Сравните массу вылившейся воды с массой шара: что следует из закона Архимеда?
▶РешениеСкрыть
Поскольку в ведро погружена лишь половина шара, то из закона Архимеда следует, что плотность шара вдвое меньше плотности воды: \[\rho_{\text{шара}} V_{\text{шара}} g = \rho_{\text{воды}} \dfrac{V_{\text{шара}}}{2} g.\] Тогда при погружении шара вылилась вода массой \(m_1 = \rho_{\text{воды}} \dfrac{V_{\text{шара}}}{2}\), и добавился шар массой \(m_2 = \rho_{\text{шара}} V_{\text{шара}}\). Поскольку \(\rho_{\text{воды}} = 2\rho_{\text{шара}}\), то \[m_1 = m_2.\] Значит, масса вылившейся воды равна массе погружённого в неё шара, и масса ведра с водой и шаром остаётся равной \(14\) кг.
зад 2 Прогулка Красной Шапочки
Красная Шапочка опоздала на электричку к бабушке и теперь должна ждать следующую, которая прибудет через полчаса. Чтобы скоротать время, она решила прогуляться: в течение \(t_1 = 15\) минут она шла строго на юг с постоянной скоростью, затем повернула на восток и шла ещё \(t_2 = 8\) минут с этой же скоростью. Вспомнив о времени прибытия электрички, она побежала к станции по кратчайшему пути со скоростью в два раза большей, чем шла до этого момента. Успеет ли Красная Шапочка на электричку?
▶ПодсказкаСкрыть
Маршрут Красной Шапочки образует прямоугольный треугольник. Запишите, какой путь она прошла на каждом участке и как связаны отрезки.
▶ОтветСкрыть
Нет, не успеет: \(t = 31{,}5\) мин, что больше получаса.
▶РешениеСкрыть
Поскольку Красная Шапочка движется по кратчайшему пути, то весь её маршрут представляет собой прямоугольный треугольник. Тогда по теореме Пифагора: \[(v t_1)^2 + (v t_2)^2 = (2 v t_3)^2 \quad \Rightarrow \quad t_1^2 + t_2^2 = 4 t_3^2.\] Тогда: \[t_3 = \dfrac{\sqrt{t_1^2 + t_2^2}}{2} = 8{,}5~\text{мин}.\] Значит, Красная Шапочка гуляла в сумме: \[t = t_1 + t_2 + t_3 = 15 + 8 + 8{,}5 = 31{,}5~\text{мин}.\] Следовательно, Красная Шапочка не успеет на электричку.
зад 3 Смешение воды и спирта
В рамках химического эксперимента по изучению смешиваемости жидкостей Михаил смешал 10 литров воды и 20 литров этилового спирта. При смешении оказалось, что суммарный объём уменьшился на \(10\%\). Какова плотность полученного раствора, если плотность воды составляет \(1\) г/см\(^3\), а плотность спирта составляет \(0{,}8\) г/см\(^3\)?
▶ОтветСкрыть
\(\rho \approx 0{,}96\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Суммарная масса полученного раствора равна: \[m = V_1 \rho_1 + V_2 \rho_2 = 10 \cdot 1 + 20 \cdot 0{,}8 = 26~\text{кг},\] где \(V_1\) — объём воды, \(V_2\) — объём этилового спирта, \(\rho_1\) — плотность воды, \(\rho_2\) — плотность этилового спирта. Суммарный объём раствора равен: \[V = 0{,}9 (V_1 + V_2) = 0{,}9 (10 + 20) = 27~\text{литров}.\] Тогда плотность полученного раствора будет равна: \[\dfrac{m}{V} = \dfrac{26}{27} \approx 0{,}96~\text{г/см}^3.\]
зад 4 Два бегуна на круговой трассе
Два бегуна стартуют из одной точки круговой трассы в разных направлениях. Скорость первого бегуна равна \(15\) км/ч, второго — на \(1\) км/ч больше. Через определённый момент времени они одновременно оказались в точке старта, причём первый бегун на этот момент пробежал на 2 круга меньше второго. Сколько именно кругов пробежал первый бегун?
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите пути бегунов через их скорости и время и вычтите одно уравнение из другого.
▶ОтветСкрыть
\(30\) кругов.
▶РешениеСкрыть
Пусть до момента встречи в точке старта прошло время \(t\), и первый спортсмен пробежал ровно \(k\) кругов. Тогда для него верно, что \[v_1 t = k l,\] где \(v_1\) — скорость первого бегуна, \(l\) — длина круговой трассы. Для второго бегуна соответственно: \[v_2 t = (k + 2) l,\] где \(v_2\) — скорость второго бегуна. Вычитая уравнение движения первого бегуна из уравнения второго, находим, что \[(v_2 - v_1) t = 2 l \quad \Rightarrow \quad t = \dfrac{2 l}{v_2 - v_1}.\] Подставляя полученное время в выражение пути для первого бегуна, получаем: \[k = \dfrac{v_1}{l} \cdot \dfrac{2 l}{v_2 - v_1} = \dfrac{2 v_1}{v_2 - v_1} = 30.\]
зад 5 Плотность груши по динамометру
Вова хочет найти плотность сорванной им неспелой груши, но под рукой у него имеются лишь таз с водой и динамометр. Взвесив грушу при помощи динамометра в воздухе, Вова установил растяжение пружины — \(1{,}2\) сантиметра. При погружении груши целиком в таз с водой растяжение пружины динамометра оказалось в 4 раза меньше. Найдите плотность груши. Ускорение свободного падения можно считать равным \(10\) Н/кг, плотность воды — \(1\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Массу груши найдите по первому взвешиванию, объём — по разности растяжений пружины в воздухе и в воде.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_{\text{гр}} \approx 1{,}33\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Массу груши можно определить после первого взвешивания: \[k x_1 = m g \quad \Rightarrow \quad m = \dfrac{k x_1}{g}.\] В воде же на грушу будет действовать также сила Архимеда: \[k x_2 + \rho V g = m g = k x_1 \quad \Rightarrow \quad V = \dfrac{k (x_1 - x_2)}{\rho g}.\] Тогда плотность груши можно найти как: \[\rho_{\text{гр}} = \dfrac{m}{V} = \dfrac{k x_1}{g} \cdot \dfrac{\rho g}{k (x_1 - x_2)} = \dfrac{\rho x_1}{x_1 - x_2} \approx 1{,}33~\text{г/см}^3.\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2019/20, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.