Курчатов, 2019/20, заключительный этап, 8 класс

Запишите правило моментов относительно шарнира. На каждое плечо действуют сила тяжести и архимедова сила; для гирьки учтите, что она погружена в масло.

\(\rho_2 \approx 2600\) кг/м\(^3\).

Запишем условие равновесия рычага: \[\rho_1 S l_1 g \dfrac{l_1}{2} - \rho S l_1 g \dfrac{l_1}{2} = \rho_2 S l_2 \dfrac{l_2}{2} - \rho S l_2 g \dfrac{l_2}{2} - \left(m g l_2 - \dfrac{m}{\rho_g}\rho_2 l_2 g\right).\] Отсюда выражаем плотность масла: \[\rho_2 = \dfrac{S(\rho_1 l_1^2 - \rho l_1^2 + \rho l_2^2) + 2 m l_2} {\dfrac{m}{\rho_g} l_2 + S l_2^2} \approx 2600~\text{кг/м}^3.\]

Массу груши найдите по первому взвешиванию, объём — по разности растяжений пружины в воздухе и в воде.

\(\rho_{\text{гр}} \approx 1{,}33\) г/см\(^3\).

Массу груши можно определить после первого взвешивания: \[k x_1 = m g \quad \Rightarrow \quad m = \dfrac{k x_1}{g}.\] В воде же на грушу будет действовать также сила Архимеда: \[k x_2 + \rho V g = m g = k x_1 \quad \Rightarrow \quad V = \dfrac{k (x_1 - x_2)}{\rho g}.\] Тогда плотность груши можно найти как: \[\rho_{\text{гр}} = \dfrac{m}{V} = \dfrac{k x_1}{g} \cdot \dfrac{\rho g}{k(x_1 - x_2)} = \dfrac{\rho x_1}{x_1 - x_2} = 1{,}33~\text{г/см}^3.\]

Составьте уравнение теплового баланса: вода остывает до \(0\,^\circ\)C и частично замерзает, а тепло уходит на нагрев кислорода до его температуры кипения и на испарение обеих компонент воздуха.

\(m^* \approx 3{,}5\) кг.

По мере доливания охлаждающей смеси вода сначала полностью остывает, отдавая количество теплоты \[Q_1 = C m (T_0 - 0).\] А затем часть воды кристаллизуется при постоянной температуре \(0\,^\circ\)C, отдавая ещё количество теплоты \[Q_2 = \lambda \dfrac{m}{4}.\] Всё это тепло идёт на испарение смеси кислорода и азота. Теплота парообразования азота и теплота парообразования кислорода войдут в уравнение теплового баланса с соответствующими массовыми долями. Однако перед тем, как кислород начнёт испаряться, он должен нагреться до температуры парообразования, что даёт вклад энергии \[Q_x = 0{,}2\, C_{O_2} m^* (T_{O_2} - T_{N_2}),\] где \(m^*\) — масса жидкого воздуха. Тогда уравнение теплового баланса примет вид: \[C m (T_0 - 0) + \lambda \dfrac{m}{4} = m^*\left(0{,}2 L_{O_2} + 0{,}8 L_{N_2} + 0{,}2\, C_{O_2}(T_{O_2} - T_{N_2})\right).\] Отсюда \[m^* = \dfrac{m\left(C T_0 + \dfrac{\lambda}{4}\right)} {0{,}2 L_{O_2} + 0{,}8 L_{N_2} + 0{,}2\, C_{O_2}(T_{O_2} - T_{N_2})} \approx 3{,}5~\text{кг}.\]

Построим график зависимости температуры воды в калориметре \(T\) от времени \(t\):

Из графика можно найти, сколько времени продолжалось таяние льда. Действительно, зависимость температуры воды от времени после того, как весь лёд растаял (переход от горизонтального участка к наклонному), даётся зависимостью: \[T = k t + b.\] Начальных данных достаточно, чтобы установить значения коэффициентов \(k\) и \(b\): \[3k + b = 1, \quad 4k + b = 5 \quad \Rightarrow \quad T = 4t - 11.\] Тогда время таяния льда \(t_1\) можно найти как точку пересечения этой прямой с осью времени: \(4 t_1 - 11 = 0 \to t_1 = \dfrac{11}{4}\) мин \(= 2{,}75\) мин \(= 165\) с. Из уравнения теплового баланса для таяния льда получаем массу льда: \[\lambda m = N t_1 \quad \Rightarrow \quad m = \dfrac{N t_1}{\lambda} \approx 36{,}4~\text{г}.\] Тогда из уравнения теплового баланса для нагрева воды массой \(M + m\), где \(M\) — начальная масса воды, получим: \[C (M + m) \Delta T_1 = N t_2,\] где \(t_2 = 15\) с — время нагрева жидкости на температуру \(\Delta T_1\), следовательно: \[M = \dfrac{N t_2}{C \Delta T_1} - m \approx 231{,}5~\text{г}.\]

Выпишите, какие амперметры включены параллельно и каким должно быть напряжение на каждой ветви. Сопротивления амперметров пропорциональны заданным числам.

\(I_{1-2} = 15\) мА.

Нарисуем эквивалентную схему:

Поскольку внутренние сопротивления амперметров 1 и 4 равны между собой: \[I_1 = I_4 = I, \quad \Rightarrow \quad I_3 = I_1 + I_4 = 2I.\] Пусть внутреннее сопротивление первого и четвёртого амперметров равно \(r\), тогда напряжение источника равно: \[I_1 r + 3 I_3 r = 7 I r = 2 I_2 r.\] Отсюда: \[I_2 = \dfrac{7}{2} I = 3{,}5\,I.\] Согласно условию: \[I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = I + 3{,}5 I + 2I + I = 7{,}5 I = 25~\text{мА} \quad \Rightarrow \quad I = \dfrac{10}{3}~\text{мА}.\] Тогда получаем ток, текущий через участок провода 1-2: \[I_{1-2} = I_1 + I_2 = 4{,}5 I = 15~\text{мА}.\]