Курчатов, 2020/21, заключительный этап, 8 класс

Кусок льда с бруском тонет, когда сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. Сколько льда при этом должно остаться? Остальной лёд растаял за счёт тепла воды.

\(T \approx 9{,}8\,^\circ\text{C}\).

Кусок льда с бруском начнёт тонуть, если сила тяжести, приложенная к нему, равна силе Архимеда. Обозначим массу льда, окружающего брусок в момент начала погружения, через \(M_*\), а его объём — через \(V_*\). Сила тяжести \(F_0 = (M_* + m)g\), сила Архимеда \(F_A = \rho_0 (V_b + V_*) g = \rho_0\left(\dfrac{m}{\rho} + \dfrac{M_*}{\rho_1}\right) g\). Приравнивая, получаем массу льда, оставшуюся в момент потопления: \[M_* = m\,\dfrac{\rho_1(\rho - \rho_0)}{\rho(\rho_0 - \rho_1)} \approx 79{,}9\text{ г}.\] Масса растаявшего льда \[M_p = M - M_* = 50{,}1\text{ г}.\] Уравнение теплового баланса \(c\rho_0 V\,\Delta T = \lambda M_p\) даёт \[\Delta T = \dfrac{\lambda M_p}{c\rho_0 V} \approx 9{,}8\,^\circ\text{C}.\]

Записывайте объём добавленной воды через площадь сечения сосуда и изменение уровня. Для каждого состояния уровней составьте уравнение объёма жидкости.

\(\dfrac{S_3}{S_1} = \dfrac{5}{2}\), откуда \(\dfrac{d_3}{d_1} = \sqrt{\dfrac{5}{2}} \approx 1{,}58\).

Обозначим \(h_1 = 1\) см, \(h_2 = 2\) см, \(h_3 = 1{,}5\) см. После первого наливания воды \[S_2 h_1 + S_3 h_1 = V.\] Если перекрыть кран между сосудами 2 и 3, а затем открыть кран между сосудами 1 и 2, уровень в сосудах 1 и 2 установится на новом значении \(h\): \[h\,S_1 + h\,S_2 = h_1 S_2, \qquad h = \dfrac{S_2 h_1}{S_1 + S_2}.\] Если после этого снова налить воду в сосуд 2, то получим \[h_2 S_1 + h_2 S_2 = V.\] Сравнивая с первым уравнением, \(S_2 h_1 + S_3 h_1 = h_2 S_1 + h_2 S_2\); деля на \(S_2\): \[1 + \dfrac{S_3}{S_2} = 2\,\dfrac{S_1}{S_2} + 2.\] После открытия всех кранов \[h_3 (S_1 + S_2 + S_3) = h_2 S_1 + (h_1 + h_2) S_2 + h_1 S_3.\] Отсюда \(0{,}5\dfrac{S_1}{S_2} - 0{,}5\dfrac{S_3}{S_2} + 1{,}5 = 0\), то есть \(\dfrac{S_1}{S_2} - \dfrac{S_3}{S_2} + 3 = 0\). Решая систему двух уравнений, получаем \(\dfrac{S_1}{S_2} = 2\), \(\dfrac{S_3}{S_2} = 5\), откуда \[\dfrac{S_3}{S_1} = \dfrac{5}{2}.\]

Точки, симметричные относительно прямой \(AB\), имеют одинаковый потенциал. Какие проводники можно при этом убрать или объединить?

\(R_{AB} = \dfrac{15}{41}R \approx 1{,}1\text{ Ом}\).

Участок цепи можно представить в виде, показанном на рисунке ниже, руководствуясь равенством потенциалов в точках смыкания проводов, симметричных относительно оси, соединяющей точки \(A\) и \(B\). После этого можно посчитать общее сопротивление.

\[R_{AB} = \left(2R^{-1} + \left(R + \left(2R^{-1} + \left(R + \left(3R^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1}\right)^{-1} = \dfrac{15}{41}\,R \approx 1{,}1\text{ Ом}.\]

Архимедова сила здесь не работает: между дном и бруском нет жидкости. Какую силу создаёт давление жидкости на верхнюю грань бруска?

\(H = 48\) см.

Поскольку жидкости между дном сосуда и бруском нет, формулу для силы Архимеда применять нельзя. Вместо этого запишем силу давления на верхнюю грань бруска: \(F_P = \rho_l g (L - b) a^2\). Условие неподвижности бруска — равенство проекций сил на ось \(y\): \[0 = \rho_l g (L - b) a^2 + \rho_s a^2 b g - k\,\Delta x.\] Отсюда растяжение пружины \[\Delta x = \dfrac{\rho_l g (L - b) a^2 + \rho_s a^2 b g}{k} = \dfrac{1000 \cdot 10 \cdot (0{,}40 - 0{,}20) \cdot 0{,}05^2 + 7000 \cdot 0{,}05^2 \cdot 0{,}20 \cdot 10}{500} = 0{,}08\text{ м}.\] Высота, на которой можно разместить верхний конец пружины: \[H = l + \Delta x + b = 20 + 8 + 20 = 48\text{ см}.\]

Запишите равенство выталкивающей силы и силы тяжести для каждого из двух случаев отдельно, учитывая, что объём полости в обоих случаях один и тот же.

\(\dfrac{V_p}{V} = \dfrac{12\rho_{\text{л}} - 7\rho_{\text{в}}}{12\rho_{\text{л}} - 6\rho_{\text{в}}} = 0{,}8\).

Для первого случая приравняем выталкивающую силу к силе тяжести: \(0{,}5\,\rho_{\text{в}} V g = \rho_{\text{л}} V_0 g + \rho_{\text{в}} V_1 g\), где \(V_0\) — объём льда, а объём полости \(V_p = V_1 + V_2\). Для второго случая \(\dfrac{2}{3}\rho_{\text{в}} V g = \rho_{\text{л}} V_0 g + \rho_{\text{в}} V_2 g\). Учитывая, что \(V_2 = V - V_0 - V_1\), и вводя \(a = V_0/V\), \(b = V_1/V\), получаем систему \[\begin{cases} 0{,}5\,\rho_{\text{в}} g = \rho_{\text{л}} g\,a + \rho_{\text{в}} g\,b, \\ -\dfrac{1}{3}\rho_{\text{в}} g = (\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}) g\,a - \rho_{\text{в}} g\,b. \end{cases}\] Сложив уравнения, найдём \(\dfrac{1}{6}\rho_{\text{в}} g = (2\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}) g\,a\), то есть \[a = \dfrac{1}{6}\,\dfrac{\rho_{\text{в}}}{2\rho_{\text{л}} - \rho_{\text{в}}}.\] Искомая доля \[1 - a = \dfrac{12\rho_{\text{л}} - 7\rho_{\text{в}}}{12\rho_{\text{л}} - 6\rho_{\text{в}}} = 0{,}8.\]