Курчатов, 2020/21, заключительный этап, 9 класс

На пассажира действуют три взаимно перпендикулярных ускорения: \(g\), центростремительное и тангенциальное. Найдите каждое из них, а затем результирующее ускорение.

\(P = m a\), откуда \(m = \dfrac{P}{a}\), где \(a = \sqrt{g^2 + \left(\dfrac{2S(\alpha-1)}{t^2(\alpha+1)}\right)^2 + \left(\dfrac{2S\varphi}{t^2}\cdot\dfrac{\alpha^2+1}{(\alpha+1)^2}\right)^2}\); \(m \approx 85{,}6\) кг.

Пусть начальная скорость поезда равна \(v_0\), конечная \(v_1\), тогда \(v_0 = \alpha v_1\). Поскольку скорость меняется линейно, средняя скорость равна \[\dfrac{v_0 + v_1}{2} = \dfrac{(\alpha+1)v_0}{2} = \dfrac{S}{t} \quad\Rightarrow\quad v_1 = \dfrac{2S}{(\alpha+1)t}.\] Тангенциальное ускорение \[a_\tau = \left|\dfrac{v_1 - v_0}{t}\right| = \dfrac{(\alpha-1)v_1}{t} = \dfrac{2S(\alpha-1)}{t^2(\alpha+1)}.\] Радиус траектории \(r = S/\varphi\). Скорость \(v_2\) в середине участка находим из \[\dfrac{S}{2} = \dfrac{v_2^2 - v_1^2}{2a} = \dfrac{v_0^2 - v_2^2}{2a} \quad\Rightarrow\quad v_2 = \sqrt{\dfrac{\alpha^2+1}{2}}\,v_1.\] Центростремительное ускорение \[a_n = \dfrac{v_2^2}{r} = \dfrac{2S\varphi}{t^2}\cdot\dfrac{\alpha^2+1}{(\alpha+1)^2}.\] Ускорение свободного падения, центростремительное и тангенциальное ускорения взаимно перпендикулярны, поэтому результирующее ускорение \[a = \sqrt{g^2 + a_n^2 + a_\tau^2}.\] Связь веса и массы \(P = m a\) даёт \(m = P/a\). Подставляя данные задачи, получаем \(m \approx 85{,}6\) кг.

Запишите равновесие сил в горизонтальном направлении и равенство моментов сил относительно центра масс стержня.

\(\mu_{\min} = \dfrac{\dfrac{a}{R}\sqrt{1 - \left(\dfrac{a}{2R}\right)^2}}{\dfrac{a^2}{2R^2} + 1}\).

Обозначим крайнюю нижнюю точку стержня точкой 1, верхнюю — точкой 2, \(\alpha\) — угол между точками 1, центром сферы и точкой 2. Второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось: \(F_{\text{тр}} = N_2 \sin\alpha\), то есть \(\mu N_1 = N_2 \sin\alpha\). Равенство моментов сил относительно центра масс стержня: \(F_{\text{тр}}\, l_{\text{тр}} + N_2\, l_N = N_1\, l_N\), где плечи \(l_{\text{тр}} = \dfrac{a}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}\), \(l_N = \dfrac{a}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\). Тогда \[\mu\,\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2} = 1 - \dfrac{\mu}{\sin\alpha}, \qquad \mu = \dfrac{1}{\mathrm{tg}\dfrac{\alpha}{2} + \dfrac{1}{\sin\alpha}}.\] Здесь \(\sin\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{a}{2R}\), \(\sin\alpha = 2\sin\dfrac{\alpha}{2}\cos\dfrac{\alpha}{2}\). Подставляя тригонометрические функции, \[\mu = \dfrac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2\sin^2\frac{\alpha}{2} + 1} = \dfrac{\dfrac{a}{R}\sqrt{1 - \left(\dfrac{a}{2R}\right)^2}}{\dfrac{a^2}{2R^2} + 1}.\]

Оцените нормальную реакцию опоры при приземлении и изменение горизонтальной скорости за время приземления. Что произойдёт раньше: остановка во время приземления или после него?

а) \(L_{\text{т}} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{2\mu g}\);  б) \(L_{\text{т}} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{4\mu g H}\).

Проекции скорости перед приземлением: \(v_x = v_0\cos\alpha\), \(v_y = \sqrt{v_0^2\sin^2\alpha + 2gH}\). В процессе приземления кошка проходит путь, равный длине лап. Пренебрегая работой силы тяжести, из теоремы о кинетической энергии \[(N - mg)\,l = \dfrac{m v_y^2}{2} \quad\Rightarrow\quad N \approx \dfrac{2mgH}{l}.\] Время приземления оценим как \(t \approx \dfrac{2l}{v_y} = \dfrac{l}{\sqrt{gH}}\). Из закона изменения импульса изменение горизонтальной скорости за время приземления \[F_{\text{тр}}\, t = m\,\Delta v, \qquad \Delta v \approx \mu\,\dfrac{2gH}{l}\cdot\dfrac{l}{\sqrt{gH}} = 2\mu\sqrt{gH}.\] Случай а): \(\Delta v \ll v_0\cos\alpha\), торможение происходит после приземления. Случай б): \(\Delta v \gg v_0\cos\alpha\), торможение происходит во время приземления.

Из закона сохранения энергии (теоремы о кинетической энергии): а) \(L_{\text{т}}\,\mu m g = \dfrac{m v_0^2\cos^2\alpha}{2}\), откуда \(L_{\text{т}} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{2\mu g}\); б) \(L_{\text{т}}\,\mu N = \dfrac{m v_0^2\cos^2\alpha}{2}\), то есть \(L_{\text{т}}\,\mu\dfrac{2mgH}{l} = \dfrac{m v_0^2\cos^2\alpha}{2}\), откуда \(L_{\text{т}} = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{4\mu g H}\).

Для каждой операции запишите уравнение теплового баланса: сколько льда растаяло. Что получается для толщины слоя льда после каждой операции?

\(n = 4\).

Для \(n\)-го наливания воды (толщина слоя воды \(h_n\)) уравнение теплового баланса: \[c_{\text{в}} T_1 \rho_{\text{в}} h_n S = \lambda\,\Delta h_n\,S\,\rho_{\text{л}}, \qquad \Delta h_n = \dfrac{c_{\text{в}} T_1 \rho_{\text{в}}}{\lambda\,\rho_{\text{л}}}\,h_n = k\,h_n,\] где \(k\) — постоянная величина. Установившаяся температура равна \(0\,^\circ\text{C}\), часть льда толщины \(\Delta h_n\) превратилась в воду, которую перед следующей операцией сливают. Площадь сечения \(S\) сокращается. Последовательность \(h_n\) образует геометрическую прогрессию: \[h_1 = H - h,\quad \Delta h_1 = k h_1;\qquad h_2 = h_1 + k h_1,\quad \Delta h_2 = h_1(1 + k)k;\qquad\dots\qquad h_n = h_1(1 + k)^{n-1}.\] Условие того, что весь лёд растаял, — толщина слоя воды не меньше высоты сосуда: \(h_{n+1} \ge H\), то есть \[(H - h)(1 + k)^n \ge H \quad\Rightarrow\quad (1 + k)^n \ge \dfrac{H}{H - h} = 5.\] Левая часть растёт с \(n\), поэтому наименьшее значение \(n\) находится подбором: \(n = 4\).

Выразите мощность на внешнем сопротивлении \(R\) через внутреннее сопротивление \(r\) батарейки и найдите, при каком \(R\) она максимальна.

Внешнее сопротивление должно быть равно внутреннему (\(R = r = 1\) Ом): например, резисторы \(2\), \(3\), \(6\) Ом или \(1{,}5\) и \(3\) Ом, соединённые параллельно; \(P_{\max} = 0{,}25\) Вт.

По закону Ома \(U = I r + I R\). Мощность на внешнем резисторе \[P = I^2 R = \dfrac{U^2 R}{(r + R)^2} = \dfrac{U^2}{\dfrac{r^2}{R} + 2r + R} = \dfrac{U^2}{f(R)}.\] Мощность максимальна, когда \(f(R)\) минимальна. Функция \(f(R)\) имеет единственный минимум при \(R > 0\); докажем, что он достигается при \(R = r\). Для малого \(\Delta\) \[P(r) - P(r + \Delta) = \dfrac{U^2 r}{4r^2} - \dfrac{U^2 (r + \Delta)}{(2r + \Delta)^2} = \dfrac{U^2 r\,\Delta^2}{4r^2(2r + \Delta)^2} > 0,\] значит, мощность максимальна при \(R = r\).

Из имеющихся резисторов нужно составить общее внешнее сопротивление, максимально близкое к \(r = 1\) Ом. Подходят, например, резисторы \(2\), \(3\), \(6\) Ом или \(1{,}5\) и \(3\) Ом, соединённые параллельно: их общее сопротивление равно \(1\) Ом. Максимальная мощность \[P_{\max} = \dfrac{U^2 r}{(2r)^2} = \dfrac{I_0^2 r}{4} = 0{,}25\text{ Вт}.\]