Курчатов, 2021/22, заключительный этап, 10 класс

Скорость стрелы найдите из закона сохранения энергии с учётом КПД. Затем запишите уравнения движения по горизонтали и по вертикали и исключите время полёта.

\(\cos\alpha_1 \approx 0{,}3\), \(\cos\alpha_2 \approx 0{,}9\) (два возможных угла).

Начальная скорость стрелы из условия \(\dfrac{mv^2}{2} = \eta A\): \(v = \sqrt{\dfrac{2\eta A}{m}}\). Горизонтальная и вертикальная компоненты скорости равны \(v_x = v\cos\alpha\) и \(v_y = v\sin\alpha\). Если стрела, вылетающая на высоте \(h\) выше центра мишени, летит время \(t\), то \[v\cos\alpha \cdot t = L, \qquad v\sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2} = -h .\] Отсюда \(\cos\alpha = \dfrac{L}{vt}\), \(\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}}\). Подставляя во второе уравнение и решая его относительно \(t^2\), получаем уравнение четвёртой степени по \(t\), квадратное относительно \(t^2\): \[\frac{g^2t^4}{4} - (hg + v^2)\,t^2 + (h^2 + L^2) = 0 .\] Положительные корни дают времена \(t_1 \approx 10{,}8\) с и \(t_2 \approx 3{,}8\) с. Тогда Вова может пустить стрелу под двумя разными углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\): \(\cos\alpha_1 \approx 0{,}3\), \(\cos\alpha_2 \approx 0{,}9\).

Стержни невесомы, значит, силы натяжения в них в сумме дают ноль, и модули натяжений равны. Перейдите в систему отсчёта, связанную с точкой соединения стержней, и запишите второй закон Ньютона для каждого шарика вдоль его стержня.

\(a_1 \approx 7{,}3\) м/с\(^2\), \(a_2 \approx 3{,}6\) м/с\(^2\), \(a_3 \approx 2{,}4\) м/с\(^2\) (для шариков \(m\), \(2m\), \(3m\) соответственно).

Поскольку стержни и точка их соединения невесомы, \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = 0\). Углы между любыми двумя стержнями равны, поэтому \(|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T\). Расположим оси \(x\) и \(y\) так, как показано на рисунке, и перейдём в систему отсчёта, связанную с точкой соединения стержней. Ускорение этой точки обозначим \(a\). Баланс сил для шариков в проекции на соответствующие стержни: \[T_1 = ma_x\cos\frac{\pi}{6} - ma_y\cos\frac{\pi}{3}, \quad T_2 = -2ma_x\cos\frac{\pi}{6} - 2ma_y\cos\frac{\pi}{3}, \quad T_3 = 3ma_x + 3m\,\frac{v_0^2}{L} .\] Решая систему относительно \(T_1 = T_2 = T_3\), \(a_x\), \(a_y\), получим \(T = \dfrac{6}{11}\dfrac{mv_0^2}{L}\). Тогда ускорения шариков массами \(m\), \(2m\), \(3m\): \[a_1 = \frac{6}{11}\frac{v_0^2}{L}, \quad a_2 = \frac{3}{11}\frac{v_0^2}{L}, \quad a_3 = \frac{2}{11}\frac{v_0^2}{L}.\] Подставляя числа, получаем \(a_1 \approx 7{,}3\) м/с\(^2\), \(a_2 \approx 3{,}6\) м/с\(^2\), \(a_3 \approx 2{,}4\) м/с\(^2\).

Работа газа идёт на разгон поршня, и при постоянном давлении приращение внутренней энергии связано с работой. Учтите, что поршень разгоняется с постоянным ускорением.

\(v = 18\) см/с.

Пусть \(\nu\) — число молей газа, \(V_1\) и \(V_2\) — начальный и конечный объёмы, \(T_1\) и \(T_2\) — начальная и конечная температуры. Первое начало термодинамики: \(Q = \Delta U + A\). Приращение внутренней энергии газа \[\Delta U = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}P(V_2 - V_1) = \frac{3}{2}PSx ,\] где \(S\) и \(x\) — площадь и перемещение поршня. Работа \(A = PSx\). Тогда \[Q = \frac{5}{2}PSx = \frac{5}{2}(P_0 + \Delta P)\,Sx .\] Второй закон Ньютона для поршня: \(ma = PS - P_0S = \Delta P\, S\), то есть \(a = \dfrac{\Delta P\, S}{m}\) (постоянное ускорение). Для равноускоренного движения \(x = \dfrac{v^2}{2a} = \dfrac{mv^2}{2\,\Delta P\, S}\). Подставляя \(x\) в выражение для \(Q\): \[Q = \frac{5(P_0 + \Delta P)\, m v^2}{4\,\Delta P} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{4\,Q\,\Delta P}{5\,m\,(P_0 + \Delta P)}} = 18~\text{см/с} .\]

Используйте зеркальную симметрию схемы относительно прямой \(CF\): по отрезку \(CF\) ток не течёт. Далее сведите треугольники к эквивалентным сопротивлениям.

\(x = 120\).

Обозначим сопротивление одного отрезка через \(R\) и перерисуем призму в виде плоской схемы. Из зеркальной симметрии относительно \(CF\) токи в ветвях \(AC\) и \(CB\) одинаковы, поэтому по отрезку \(CF\) ток не течёт и его можно убрать. Треугольники \(ABC\) и \(DEF\) заменяются эквивалентными сопротивлениями \(2R/3\). Получается простая схема из четырёх сопротивлений; сопротивление верхней ветви \(ADEB\) равно \(8R/3\). Ток через неё \(I = \dfrac{V}{8R/3} = \dfrac{3V}{8R}\), где \(V\) — напряжение на точках \(A\) и \(B\). Напряжение на участке \(DE\): \(V_{DE} = I\cdot\dfrac{2R}{3} = \dfrac{V}{4}\), а на отрезке \(EF\) оно вдвое меньше: \(V_{EF} = \dfrac{V}{8}\). Тогда \[P_{EF} = \frac{V_{EF}^2}{R} = \frac{V^2}{64R} .\] Общее сопротивление призмы: \[R_0 = \frac{(8R/3)\cdot(2R/3)}{10R/3} = \frac{8R}{15}, \qquad P = \frac{V^2}{R_0} = \frac{15V^2}{8R} .\] Отношение мощностей: \(x = \dfrac{P}{P_{EF}} = \dfrac{15\cdot 64}{8} = 120\).

Найдите изображения, которые даёт составная линза по отдельности, затем определите, при каком расстоянии между линзами расходящийся пучок от верхней половины начинает фокусироваться собирающей линзой.

\(a + R_\text{max} = 55\) см.

Изображение 1 (от верхней, рассеивающей половины) находится левее составной линзы на расстоянии \(b_1 = \dfrac{aF}{a + F}\); изображение 2 (от нижней, собирающей половины) находится правее на расстоянии \(b_2 = \dfrac{aF}{a - F}\).

Расходящийся пучок от верхней половины начинает фокусироваться собирающей линзой, когда расстояние от изображения 1 до собирающей линзы больше её фокусного расстояния: \[F < R + b_1 \quad\Rightarrow\quad R > R_1 = \frac{F^2}{a + F} .\] Сравнивая \(R_1\) и \(b_2\), получаем, что \(b_2 - R_1 = \dfrac{a^2F + F^3}{a^2 - F^2} > 0\), так что два действительных изображения возможны при \(R_1 < R < b_2\). При \(R > b_2\) появляется ещё одно действительное изображение, когда расстояние от собирающей линзы до изображения 2 больше \(F\): \[R > b_2 + F = \frac{2aF - F^2}{a - F} = R_2 .\] При \(R > R_2\) собирающая линза фокусирует пучок от изображения 2 в изображение \(c_1\), а пучок от рассеивающей половины — в изображение \(c_2\). Изображения совпадают лишь при \(b_2 = -b_1\), что невозможно. Поэтому максимальное расстояние между линзами, при котором действительные изображения находятся в двух точках, равно \[R_\text{max} = R_2 = \frac{2aF - F^2}{a - F} = 25~\text{см} .\] Искомое расстояние от объекта до собирающей линзы: \(a + R_\text{max} = 55\) см.