зад 1 Несимметричные качели
На детской площадке стоят несимметричные качели-балансир. Про качели известно, что они представляют из себя рычаг, у которого точка опоры не обязательно находится посередине и у которого на одном плече установлены два сидения, а на другом — одно. Вася, Маша и Таня пришли на них кататься. Известно, что Таня и Маша весят одинаково, а Вася в полтора раза тяжелее Маши. Дети заметили, что если девочки займут сидения с одной стороны качелей относительно точки опоры, а Вася — с другой, то наступит равновесие. Пусть Таня сидит ближе к точке опоры качелей, чем Маша. Тогда Вася сидит в три раза дальше от точки опоры, чем Таня. Найдите отношение расстояния от Тани до Маши к расстоянию от Тани до точки опоры.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите условие равновесия рычага: сумма моментов сил с одной стороны от точки опоры равна сумме моментов с другой стороны. Выразите массы через массу Маши.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{x}{h} = 2{,}5\).
▶РешениеСкрыть
Пусть \(l\) — расстояние от точки опоры до Васи, \(h\) — расстояние от точки опоры до Тани, \(x\) — расстояние от Тани до Маши, \(M_\text{В}\), \(M_\text{Т}\), \(M_\text{М}\) — массы Васи, Тани и Маши. Условие равновесия качелей: \[M_\text{В}\, g\, l = M_\text{Т}\, g\, h + M_\text{М}\, g\, (h + x) \quad\Rightarrow\quad x = \frac{M_\text{В}\, l - (M_\text{Т} + M_\text{М})\, h}{M_\text{М}} .\] Тогда искомое отношение \[\frac{x}{h} = \frac{M_\text{В}}{M_\text{М}}\cdot\frac{l}{h} - \left(\frac{M_\text{Т}}{M_\text{М}} + 1\right) = 1{,}5 \cdot 3 - (1 + 1) = 2{,}5 .\]
зад 2 Муравей и слон на блоках
Маленький муравей вертикально тянет веревку с силой \(1\) Н. Веревка перекинута через неподвижный блок, прикрепленный к потолку, и через подвижный блок соединена с потолком. К центру этого подвижного блока также прикреплена веревка, которая соединена с потолком через другой подвижный блок. Так цепочка подвижных блоков продолжается несколько раз, а к последнему блоку привязана веревка, за которую схватился слон. Слон тянет конец веревки с силой \(5000\) Н, также вертикально. Найдите наименьшее необходимое количество подвижных блоков для того, чтобы муравей смог перетянуть веревку на свою сторону. Блоки считать невесомыми, а веревку — нерастяжимой.
▶ПодсказкаСкрыть
Каждый подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза. Сравните силу муравья с силой, которую нужно уравновесить после \(n\) блоков.
▶ОтветСкрыть
\(13\) подвижных блоков.
▶РешениеСкрыть
Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, поэтому, если подвижных блоков \(n\), необходимая для поднятия груза сила в \(2^n\) раз меньше, чем вес груза. Поэтому нужно найти такое число \(n\), что при делении на \(2^n\) значение \(5000\) Н окажется не больше \(1\) Н, то есть \[1\ \text{Н} > \frac{5000\ \text{Н}}{2^n} .\] Минимальное такое число \(n = 13\): \[1\ \text{Н} > \frac{5000\ \text{Н}}{2^{13}} = \frac{5000\ \text{Н}}{8192} .\] То есть 14 подвижных блоков являются избыточными, а 12 — недостаточно для выполнения неравенства.
зад 3 Вода и этанол при смешивании
\(V_1\) литров воды и \(V_2\) литров этанола смешивают друг с другом так, что объём их раствора равен \(V = 1\) дм\(^3\) и что массовая доля этанола в растворе равна \(p = 0{,}441\). Из-за протекания химических реакций при смешивании этих жидкостей происходит сжатие \(\gamma = 6\%\), то есть объём полученного раствора на \(6\%\) меньше, чем суммарный объём воды и этанола \(V_1 + V_2\). Найдите объёмы \(V_1\) и \(V_2\). Плотность воды \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), этанола \(\rho_2 = 790\) кг/м\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите массовую долю через массы воды и этанола, затем запишите условие сжатия через плотности.
▶ОтветСкрыть
\(V_1 = 532\) см\(^3\), \(V_2 = 532\) см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Выразим массовую долю этанола через массу воды \(m_1\) и массу этанола \(m_2\): \[\frac{m_2}{m_1 + m_2} = 0{,}441 \quad\Rightarrow\quad m_2 = 0{,}789\, m_1 .\] Запишем условие сжатия: \[(V_1 + V_2)\cdot\frac{100 - \gamma}{100} = V \quad\Rightarrow\quad \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = 1{,}064\, V .\] Подставляя отношение масс, выразим массу и объём воды: \[m_1 = \frac{1{,}064\, V \rho_1 \rho_2}{0{,}789\,\rho_1 + \rho_2} \quad\Rightarrow\quad V_1 = \frac{1{,}064\, V \rho_2}{0{,}789\,\rho_1 + \rho_2} = 532~\text{см}^3 .\] Аналогично находим объём этанола: \(V_2 = 532\) см\(^3\).
зад 4 Плёнка, игла и гидравлический пресс
К потолку прикреплена пружина, нижняя часть которой представляет собой горизонтальное проволочное кольцо с натянутой на него тонкой нерастяжимой плёнкой. Снизу в плёнку упирается игла — острый вертикальный стержень, нижний конец которого закреплён на большем поршне гидравлического пресса. Площадь поперечного сечения иглы \(S_\text{иглы} = 4\) мм\(^2\), площади меньшего и большего поршней пресса \(S_1 = 100\) см\(^2\) и \(S_2 = 400\) см\(^2\). В начальный момент пружина не деформирована. Ученик начинает класть на меньший поршень маленькие грузики. Когда суммарная масса грузиков стала равна \(m = 100\) г, плёнка лопнула. Найдите следующие величины:
Сдвиг \(\Delta x_1\) меньшего поршня пресса от своего первоначального положения. Ответ выразите в сантиметрах.
Давление \(P\), необходимое для разрушения плёнки. Числовой ответ выразите в мегапаскалях.
▶ПодсказкаСкрыть
Используйте закон Паскаля и условие несжимаемости жидкости: объём, вытесненный малым поршнем, равен объёму, вытесненному большим.
▶ОтветСкрыть
1) \(\Delta x_1 = 2\) см; 2) \(P = 1\) МПа.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(F_1\) — сила, действующая на меньший поршень, \(F_2\) — сила, создаваемая в большем поршне. Закон Паскаля: \[\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} .\] Условие несжимаемости жидкости: \(S_1\,\Delta x_1 = S_2\,\Delta x_2\), где \(\Delta x_2\) — смещение большего поршня. Сила, с которой больший поршень давит на плёнку, уравновешивается силой упругости пружины: \(F_2 = k\,\Delta x_2\). Тогда \[\Delta x_1 = \frac{F_1}{k}\left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2 = \frac{mg}{k}\left(\frac{S_2}{S_1}\right)^2 = \frac{0{,}1\ \text{кг}\cdot 10\ \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{8\ \frac{\text{Н}}{\text{см}}} \left(\frac{400\ \text{см}^2}{100\ \text{см}^2}\right)^2 = 2\ \text{см} .\] Давление иглы на плёнку \(P = \dfrac{F_2}{S_\text{иглы}}\). Тогда \[P\, S_\text{иглы} = F_2 = F_1\frac{S_2}{S_1} = mg\,\frac{S_2}{S_1}, \qquad P = \frac{mg}{S_\text{иглы}}\cdot\frac{S_2}{S_1} = \frac{0{,}1\ \text{кг}\cdot 10\ \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{4\cdot 10^{-6}\ \text{м}^2} \cdot\frac{400\ \text{см}^2}{100\ \text{см}^2} = 1\ \text{МПа} .\]
зад 5 Два рычага с пружинами
К двум очень лёгким рычагам с точками опоры, расположенными на разной высоте, прикреплены пружины, как показано на рисунке. Жёсткости пружин равны: \(k_1 = k_2 = k_3\). Система находится в равновесии, рычаги расположены горизонтально, а деформации пружин имеют только вертикальные составляющие. Найдите модуль отношения деформации пружины \(k_3\) к деформации пружины \(k_1\), если плечи рычагов соотносятся следующим образом: \(l_1 : l_2 : l_3 : l_4 = 1 : 2 : 3 : 4\). Ответ округлите до третьей значащей цифры.
▶ПодсказкаСкрыть
Запишите равенство моментов для каждого рычага и выразите силы в пружинах через одну из них.
▶ОтветСкрыть
\(\left|\dfrac{\Delta_3}{\Delta_1}\right| = 0{,}375\).
▶РешениеСкрыть
Запишем равенства моментов: \[F_1 l_1 = F_2 l_2, \qquad F_3 l_3 = F_4 l_4,\] где \(F_i = k\,\Delta_i\). Учитывая равенство \(F_2 = -F_3\) и соотношения длин плеч, получим: \[F_2 = \frac{1}{2}F_1,\qquad F_3 = -\frac{1}{2}F_1,\qquad F_4 = -\frac{3}{8}F_1 .\] Тогда \[\frac{\Delta_3}{\Delta_1} = -\frac{3}{8} .\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2021/22, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.