Курчатов, 2021/22, заключительный этап, 9 класс

Работа лука с учетом КПД переходит в кинетическую энергию стрелы. Дальше запишите координаты стрелы через время полета и выразите из них косинус угла.

\(\cos\alpha_1 \approx 0{,}3\);  \(\cos\alpha_2 \approx 0{,}9\).

Найдем начальную скорость стрелы, записав выражение для кинетической энергии стрелы: \[E_K = \frac{mv^2}{2} = \eta A \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\eta A}{m}}.\] Горизонтальная и вертикальная компоненты скорости стрелы соответственно равны \(v_x = v\cos\alpha\) и \(v_y = v\sin\alpha\). Если стрела, вылетающая на высоте \(h\) выше центра мишени, летит время \(t\), то верно \[v\cos\alpha\cdot t = L, \qquad v\sin\alpha\cdot t - \frac{gt^2}{2} = -h.\] Выразив \(\sin\alpha\), получим: \[\cos\alpha = \frac{L}{vt} \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{L}{vt}\right)^2} = \sqrt{\frac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}}.\] Подставим в нижнее уравнение и решим его относительно переменной \(t^2\): \[vt\cdot\sqrt{\frac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}} = \frac{gt^2}{2} - h \quad\Rightarrow\quad v^2t^2 - L^2 = h^2 - hgt^2 + \frac{g^2t^4}{4} \quad\Rightarrow\] \[\frac{g^2t^4}{4} - (hg + v^2)t^2 + (h^2 + L^2) = 0 \quad\Rightarrow\quad t^2_{1,2} = \frac{(hg + v^2) \pm \sqrt{(hg + v^2)^2 - 4\cdot\frac{g^2}{4}(h^2 + L^2)}}{2\cdot\frac{g^2}{4}}.\] Отсюда \(t_1 \approx 10{,}8\) с, \(t_2 \approx 3{,}8\) с (отрицательные значения \(t\) отбрасываем). Тогда получаем, что Вова может пустить стрелу под двумя разными углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\): \[\cos\alpha_1 \approx 0{,}3, \qquad \cos\alpha_2 \approx 0{,}9.\]

Сначала вода не вытекает, и вся мощность идет на нагрев всей массы: начальный наклон графика дает \(m_0\). Когда температура выходит на постоянный уровень, мощность нагревателя уравнивает нагрев поступающей воды.

\(m_0 \approx 1{,}1\text{ кг}\);  \(\mu \approx 30\text{ г/с}\).

Изначально температура поступившей извне воды равна температуре воды внутри водонагревателя и вода не вытекает. Поэтому температура воды изменяется только за счет тепла, полученного от нагревателя: \(\Delta Q = c m_0 \Delta T = P\Delta t\). Если момент времени \(\Delta t\) достаточно мал, то получим наклон \(\Delta T/\Delta t \approx 0{,}45\,^\circ\text{C/с}\), который необходимо измерить на графике в момент времени \(t = 0\). Наклон можно найти, проведя касательную на графике в начальный момент времени \(t = 0\), которая примерно проходит через точку \(T = 24{,}5\,^\circ\text{C}\) и \(t = 10\) с. Откуда получаем \[m_0 = \frac{P}{c\,\dfrac{\Delta T}{\Delta t}} \approx 1{,}1\text{ кг}.\] Стабильная температура достигается, когда энергия, необходимая для нагрева вытекающей в единицу времени воды, равна мощности нагревателя. Тогда мы получаем соотношение \(P = \mu c (T - T_0)\). Подставляя температуру \(T = 36\,^\circ\text{C}\), получим искомое значение \(\mu\): \[\mu = \frac{P}{c\,(T - T_0)} \approx 30\text{ г/с}.\]

Найдите точку зеркала, в которой луч от одного человека отражается к другому, и выразите расстояния от людей до зеркала как функции времени.

\(t = 1{,}5\) с.

Пусть два человека увидят друг друга в зеркале в момент времени \(t\). К этому времени человек \(A\) преодолеет расстояние \(2 - 1\cdot t\) м, а человек \(B\) — \(3{,}5 - 1\cdot t\) м. Из подобия треугольников получаем: \[\frac{1}{3{,}5 - t} = \frac{2 - t}{1}.\]

Решая полученное квадратное уравнение, получим ответ: \(t = 1{,}5\) с.

Силы натяжения стержней в точке соединения в сумме дают ноль. Запишите второй закон Ньютона для каждого шарика в проекции на его стержень, учитывая, что сама точка соединения движется с ускорением.

\(a_1 \approx 7{,}3\text{ м/с}^2\);  \(a_2 \approx 3{,}6\text{ м/с}^2\);  \(a_3 \approx 2{,}4\text{ м/с}^2\).

Поскольку стержни и точка их соединения невесомы, \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = 0\). В свою очередь, углы между любыми двумя стержнями равны, поэтому \[|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T.\] Расположим оси \(x\) и \(y\) так, как указано на рисунке, и перейдем в систему отсчета, связанную с точкой соединения стержней. Ускорение данной точки обозначим за \(a\). Тогда можно записать баланс действующих сил для каждого из трех шариков в проекции на соответствующие стержни: \[T_1 = m a_x \cos\frac{\pi}{6} - m a_y \cos\frac{\pi}{3},\] \[T_2 = -2m a_x \cos\frac{\pi}{6} - 2m a_y \cos\frac{\pi}{3},\] \[T_3 = 3m a_x + 3m\,\frac{v_0^2}{L}.\]

Данная система содержит три неизвестных, \(T_1 = T_2 = T_3\), \(a_x\), \(a_y\). Решив систему, получим искомое \[T_1 = \frac{6}{11}\,\frac{m v_0^2}{L}.\] Тогда ускорения для шариков массой \(m\), \(2m\), \(3m\) соответственно равны \[a_1 = \frac{6}{11}\,\frac{v_0^2}{L}, \qquad a_2 = \frac{3}{11}\,\frac{v_0^2}{L}, \qquad a_3 = \frac{2}{11}\,\frac{v_0^2}{L}.\] Подставляя численные значения, получим: \[a_1 \approx 7{,}3\text{ м/с}^2, \qquad a_2 \approx 3{,}6\text{ м/с}^2, \qquad a_3 \approx 2{,}4\text{ м/с}^2.\]

Сила на пластину равна избыточному давлению, умноженному на площадь пятна контакта. Во втором пункте сила почти пропорциональна деформации, поэтому мяч ведет себя как пружина.

1) \(F \approx 120\text{ Н}\);  2) \(h \approx 11\text{ мм}\), \(t \approx 18\text{ мс}\).

1) \(F = \Delta p\, S\), где \(S = \pi r^2\) — площадь поверхности сегмента контакта мяча и стенки. С помощью теоремы Пифагора можно найти радиус \(r\): \(r^2 = R^2 - (R - h)^2 = (2R - h)h\), поэтому \[F = \Delta p\,\pi h(2R - h) \approx 120\text{ Н}.\] 2) При ударе мяч деформируется так, как показано на рисунке: оболочка не растягивается, поэтому сохраняет сферическую форму (кроме мест соприкосновения со стенкой).

Используя приближение \(h \ll R\), можно пренебречь членом порядка \(h^2\) в выражении для силы. Тогда сила пропорциональна \(h\), т.е. мяч ведет себя как пружина с жесткостью \(k = 2\pi R\,\Delta p\). Тогда можно воспользоваться законом сохранения энергии и выразить искомую величину \(h\): \[m v_0^2 = 2\pi R\,\Delta p\, h^2 \quad\Rightarrow\quad h = v_0\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}} \approx 11\text{ мм}.\] Искомое \(t\) является половиной периода гармонических колебаний пружинного маятника с жесткостью \(k = 2\pi R\,\Delta p\): \[t = \pi\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,\Delta p}} \approx 18\text{ мс}.\]