Курчатов, 2022/23, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Общее число прыжков одинаково во всех экспериментах. Удобно ввести доли длинных и коротких прыжков от общего числа и составить систему из первых двух экспериментов.

Ответ

\(v_3 = 1{,}625\) дел/с.

Решение

Обозначим число коротких прыжков в первом эксперименте за \(m\), а число длинных за \(n\). Общее число прыжков \(m+n\) неизменно для всех экспериментов, так как время фиксировано, а на каждый прыжок уходит одна секунда. Короткий прыжок составляет одно деление, длинный — два деления, поэтому в первом эксперименте \[v_1 = \frac{m+2n}{m+n} = \frac{5}{4}\ \text{дел/с}.\] Во втором эксперименте длинных прыжков \(m\), коротких \(n\): \[v_2 = \frac{n+2m}{m+n} = \frac{7}{4}\ \text{дел/с}.\] В третьем эксперименте коротких прыжков \(\dfrac{m}{2}\), длинных \(n+\dfrac{m}{2}\): \[v_3 = \frac{\tfrac{m}{2}+2\left(n+\tfrac{m}{2}\right)}{m+n}.\] Введём \(\alpha = \dfrac{m}{m+n}\) и \(\beta = \dfrac{n}{m+n}\). Из первых двух экспериментов получаем систему \[\begin{cases} \alpha+2\beta = \dfrac{5}{4},\\[4pt] 2\alpha+\beta = \dfrac{7}{4}, \end{cases} \qquad \alpha = \frac{3}{4},\quad \beta = \frac{1}{4}.\] Тогда \(v_3 = 1{,}5\,\alpha + 2\beta = \dfrac{13}{8} = 1{,}625\) дел/с.

Подсказка

Мощность и КПД постоянны, значит, за одинаковое время в обоих опытах нагреватель передаёт системе одно и то же количество теплоты. Запишите баланс теплоты для первого опыта и для второго, где лёд сначала плавится и нагревает воду.

Ответ

\(1\%\) (уменьшение массы воды на \(1\%\)).

Решение

Так как мощность и КПД нагревателя постоянны, количество теплоты, переданное системе за пять минут в первом и во втором эксперименте, одинаково. Обозначим его \(Q\).

Для первого эксперимента \[0{,}05\,mL = Q.\] Во втором эксперименте вода кипела по прошествии пяти минут, значит, лёд успел расплавиться, а образовавшаяся вода нагрелась от \(0\,^\circ\text{C}\) до \(100\,^\circ\text{C}\). Тогда \[0{,}03\,m\lambda + 0{,}03\,mc\cdot100\,^\circ\text{C} + \Delta m\,L = Q,\] где \(\Delta m\) — масса испарившейся воды во втором эксперименте. Из двух уравнений \[\frac{\Delta m}{m} = 0{,}05 - \frac{3c}{L} - \frac{0{,}03\lambda}{L} \approx 0{,}05 - 0{,}00548 - 0{,}00443 \approx 0{,}04.\] Во втором эксперименте масса воды также увеличилась за счёт добавленного льда, поэтому общее изменение массы воды \[\Delta m_0 = 0{,}04\,m - 0{,}03\,m = 0{,}01\,m,\] то есть Вероника зарегистрирует уменьшение массы воды на \(1\%\).

Подсказка

Найдите мощности, которые выделяют нагреватели при разомкнутом и замкнутом ключе \(K_2\). Теплота, полученная водой в каждом калориметре, равна сумме выделенных за два интервала времени.

Ответ

1) \(\tau = 44\) с;  2) \(\Delta t = 3\,^\circ\text{C}\).

Решение

При разомкнутом ключе \(K_2\) нагревательные элементы потребляют мощности \[P_1 = R_1\left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 = 9\text{ Вт}, \qquad P_2 = R_2\left(\frac{U}{R_1+R_2}\right)^2 = 13{,}5\text{ Вт}.\] При замкнутом ключе \(K_2\) сопротивление параллельного участка \[R_{23} = \frac{R_2R_3}{R_2+R_3} = 2\text{ Ом},\] и мощности равны \[P'_1 = R_1\left(\frac{U}{R_1+R_{23}}\right)^2 = 25\text{ Вт}, \qquad P'_2 = R_2\left(\frac{R_3}{R_2+R_3}\cdot\frac{U}{R_1+R_{23}}\right)^2 \approx 4{,}17\text{ Вт}.\] Теплота, полученная водой в каждом калориметре к моменту теплового равновесия, \[Q_1 = cm_1\Delta t = P_1\tau_0 + P'_1\tau, \qquad Q_2 = cm_2\Delta t = P_2\tau_0 + P'_2\tau.\] Отсюда время \[\tau = \frac{m_1P_2 - m_2P_1}{m_2P'_1 - m_1P'_2}\,\tau_0 \approx 44\text{ с}.\] Изменение температуры \[\Delta t = \frac{P_1\tau_0 + P'_1\tau}{cm_1} \approx 3\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для одного переливания и найдите, как разность температур уменьшается от процесса к процессу.

Ответ

\(n = 5\).

Решение

Пусть \(k = \dfrac{\Delta m}{m} = 0{,}25\).

1) После первого переливания из \(B\) в \(A\) уравнение теплового баланса \[cm(t_1 - t_{01}) = c\Delta m\,(t_{02} - t_1) \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{mt_{01}+\Delta m\,t_{02}}{m+\Delta m} = \frac{k\,t_{02}+t_{01}}{k+1}.\]

2) После переливания обратно из \(A\) в \(B\): \[c(2m-\Delta m)(t_{02}-t_2) = c\Delta m\,(t_2 - t_1),\] откуда \[t_2 - t_1 = \frac{2-k}{2(1+k)}\,(t_{02}-t_{01}) = 42\,^\circ\text{C}.\]

3) Каждый следующий полный процесс уменьшает разность температур в \(\dfrac{2-k}{2(1+k)} = 0{,}7\) раза. Значит, после \(n\) процессов \[\left[\frac{2-k}{2(1+k)}\right]^{n}(t_{02}-t_{01}) < 12\,^\circ\text{C}, \qquad 0{,}7^{\,n} < \frac{1}{5}.\] Отсюда \(n \geq 5\). Итак, процедуру нужно повторить 5 раз.

Подсказка

Сумма натяжений тросов равна силе давления воды на дно ёмкости: ёмкость невесома. Найдите высоту уровня воды по объёму и напишите условие равновесия бруска.

Ответ

\(\dfrac{\rho_\text{б}}{\rho_\text{в}} = 7\).

Решение

В силу симметрии силы натяжения обоих тросов равны, \(T_1 = T_2\). Обозначим \(T = T_1 + T_2\). Сила \(T\) равна силе давления воды на дно ёмкости: \[T = \rho_\text{в}\,g\,hS,\] где \(h\) — высота воды в ёмкости после погружения бруска, \(S\) — площадь дна. Так как \(Sh = V_\text{в} + V_\text{б}\), получаем \[T = \rho_\text{в}\,g\,(V_\text{в} + V_\text{б}).\] Условие равновесия бруска: \(T + F_\text{Арх} = m g\). Подставляя силу Архимеда, \(T\) и массу \(m = \rho_\text{б}V_\text{б}\): \[\rho_\text{в}g(V_\text{в}+V_\text{б}) + \rho_\text{в}gV_\text{б} = \rho_\text{б}V_\text{б}g.\] По условию \(V_\text{б} = 0{,}2\,V_\text{в}\), поэтому \[1{,}2\,\rho_\text{в}V_\text{в} + 0{,}2\,\rho_\text{в}V_\text{в} = 0{,}2\,\rho_\text{б}V_\text{в} \quad\Rightarrow\quad \rho_\text{б} = 7\,\rho_\text{в}.\]