зад 1 Кирпич с двумя отметками
Даша опускает тело в форме кирпича с квадратным основанием в воду сначала одной квадратной гранью, затем другой. В обоих случаях кирпич плавает, и Даша делает отметку на кирпиче в том месте, где он соприкасается с водой. Оказалось, что расстояние между двумя отметками равно \(h = 5\text{ см}\). Считая, что каждый раз кирпич погружался в воду меньше, чем наполовину, рассчитайте длину наибольшего ребра \(L\). Плотность тела однородна и равна \(\rho = 400\text{ кг/м}^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\text{ кг/м}^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Пусть над водой находится часть кирпича длиной \(x\). Тогда расстояние между отметками связывает \(x\) с наибольшим ребром, а условие плавания даёт второе уравнение.
▶ОтветСкрыть
\(L = 25\text{ см}\).
▶РешениеСкрыть
1) Обозначим часть кирпича, непогружённую в воду, через \(x\). Тогда длина наибольшего ребра \(L\) выражается как \(L = 2x + h\), откуда \(x = \dfrac{L - h}{2}\).
2) Обозначим ребро квадратной грани кирпича через \(a\) и запишем уравнение баланса: \[F_{\text{Архимеда}} = F_{\text{тяжести}}, \qquad x\cdot a^2\cdot\rho_{\text{в}}\cdot g = L\cdot a^2\cdot\rho\cdot g,\] \[L = \frac{h}{1 - 2\cdot\rho/\rho_{\text{в}}} = 25\text{ см}.\]
зад 2 Космический поезд и посадочная платформа
Жители \(\alpha\)-Центавра, Саша и Вова, наблюдают за движением космических судов в поясе астероидов в их звёздной системе. Они заметили, что большинство космических поездов, пролетающих мимо определённого астероида в поясе, не совершают на нём посадку. Они предполагают, что это происходит из-за того, что астероид слишком мал и неудобен для посадки, так как максимальная длина его посадочной платформы составляет всего \(l = 300\text{ м}\). Саша заметил, что один из космических поездов пролетает начало платформы за время \(t_1 = 25\text{ с}\). В то же время Вова заметил, что преодоление всей посадочной платформы астероида поездом занимает время \(t_2 = 42\text{ с}\). На сколько метров необходимо увеличить размер посадочной платформы, чтобы пролетающий поезд смог совершить на нём посадку? В ответе укажите минимальное целое число. Считать, что космические поезда движутся равномерно. Длину посадочной платформы астероида считать достаточной, если она больше или равна длине космического поезда.
▶ПодсказкаСкрыть
Время прохождения всей платформы складывается из времени, за которое проходит начало поезда, и времени, за которое проходит конец поезда. Длина поезда связана со скоростью через время \(t_1\).
▶ОтветСкрыть
\(\Delta l = 142\text{ м}\).
▶РешениеСкрыть
1) Обозначим скорость корабля через \(v\). Время, за которое корабль проходит начало платформы, равно \(t_1\) по условию. Заметим, что в таком случае длина корабля \(x\) будет равна \(x = v t_1\).
2) Вова заметил, что преодоление всей посадочной платформы астероида поездом занимает время \(t_2 = 42\text{ с}\). Оно включает в себя прохождение кораблём начала платформы и время, за которое конец корабля преодолеет всю платформу астероида. В таком случае \[t_2 = t_1 + \frac{l}{v} \quad\Rightarrow\quad v = \frac{l}{t_2 - t_1} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{l}{t_2 - t_1}\, t_1 .\]
3) Тогда для совершения посадки на астероиде размер посадочной платформы необходимо увеличить на величину \[\Delta l = x - l = \frac{l\, t_1}{t_2 - t_1} - l = 141{,}2\text{ м}.\] А минимальное целое число составит \(\Delta l = 142\text{ м}\).
зад 3 Система рычагов с двумя грузами
На рисунке приведена система рычагов. Все рычаги находятся в горизонтальном положении. Два груза массами \(m\) и \(M\) закреплены на тонких нерастяжимых невесомых нитях на плечах большого рычага и на соответствующих плечах малых рычагов, как показано на рисунке. Внутренние плечи малых рычагов связаны натянутой нерастяжимой невесомой нитью. Длины плеч всех рычагов отмечены на рисунке. Найдите отношение \(\dfrac{m}{M}\), если известно, что сила, действующая на левое плечо большого рычага, равна половине силы тяжести, действующей на груз массы \(m\).
▶ПодсказкаСкрыть
Для большого рычага запишите условие равновесия моментов относительно точки опоры. Затем для каждого малого рычага запишите моменты сил относительно его опоры.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{m}{M} = \dfrac{56}{33}\).
▶РешениеСкрыть
1) Обозначим силы, действующие на левое и правое плечи большого рычага, как \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Из условия равновесия для большого рычага получаем: \[T_1\cdot 3l = T_2\cdot 7l, \qquad T_2 = \frac{3}{7}T_1 .\] По условию \(T_1 = \dfrac{mg}{2}\), откуда \[T_2 = \frac{3}{14}\,mg .\]
2) Запишем условия равновесия для малых рычагов, обозначив силу натяжения внутренней нити между плечами малых рычагов за \(T_3\): \[(mg - T_1)\cdot l = T_3\cdot l \quad\Rightarrow\quad \frac{mg}{2}\cdot l = T_3\cdot l,\] \[(Mg - T_2)\cdot 4l = T_3\cdot 3l \quad\Rightarrow\quad \left(Mg - \frac{3}{14}mg\right)\cdot 4l = T_3\cdot 3l .\] Откуда получаем: \[\frac{1}{2}mg = \frac{4}{3}Mg - \frac{4}{14}mg, \qquad \frac{11}{14}mg = \frac{4}{3}Mg, \qquad \frac{m}{M} = \frac{56}{33}.\]
зад 4 Чаинки в чайнике
При заваривании чая чаинки, помещённые в воду, сначала плавают на поверхности воды, а затем медленно опускаются на дно чайника. Это связано с изменением массы и объёма чаинок при контакте с водой. Сразу после попадания в чайник чаинки погружены в воду на \(70\%\) своего объёма. Через некоторое время масса чаинок увеличивается на \(50\%\). При каком максимально возможном увеличении своего объёма чаинки начнут опускаться на дно? Ответ дайте в процентах от исходного значения объёма чаинок.
▶ПодсказкаСкрыть
Чаинки начинают тонуть, когда выталкивающая сила становится меньше силы тяжести. Запишите оба условия и сравните объёмы.
▶ОтветСкрыть
\(5\%\).
▶РешениеСкрыть
1) Запишем равенство сил в начальный момент времени при условии, что чаинки плавают на поверхности: \[0{,}7\,\rho_{\text{в}} V_0 g = m_0 g,\] где \(m_0\) и \(V_0\) — начальные масса и объём чаинок.
2) Чаинки начинают тонуть, когда выполнено условие \[\rho_{\text{в}} V_1 g \leq 1{,}5\, m_0 g,\] где \(V_1\) — новое значение объёма чаинок. Из первого условия получаем: \[\rho_{\text{в}} V_1 g \leq 1{,}5\cdot 0{,}7\,\rho_{\text{в}} V_0 g, \qquad V_1 \leq 1{,}5\cdot 0{,}7\, V_0 = 1{,}05\, V_0 .\] Таким образом, максимально возможное увеличение объёма чаинки составляет \(5\%\).
зад 5 Сыр с дырками и динамометр
Вероника купила в супермаркете некоторое количество сыра, представляющего собой кубик размерами \(5\text{ см} \times 5\text{ см} \times 5\text{ см}\) для необычных экспериментов с динамометром. Внутри сыра имеются дырки, которые образуются в процессе его созревания. Сначала она измерила вес сыра, погрузив его целиком в воду, и получила \(P_1 = 0{,}26\text{ Н}\). Дополнительно Вероника расплавила сыр на водяной бане, отметив, что масса сыра после его затвердевания не изменилась, а объём уменьшился на \(10\%\). Определите плотность монолитного сыра без дырок по результатам эксперимента Вероники, предполагая, что после его расплавления и затвердевания дырок в сыре не осталось. Плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1\text{ г/см}^3\). Ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\).
▶ПодсказкаСкрыть
Вес сыра в воде равен разности его силы тяжести и силы Архимеда. Сила тяжести определяется массой сыра, в которую входят и дырки, поэтому выразите массу через плотность монолитного сыра и объём дырок.
▶ОтветСкрыть
\(\rho_c \approx 1{,}34\text{ г/см}^3\).
▶РешениеСкрыть
1) Запишем массу \(M\) целого куска сыра, разделив составляющие дырок и сыра: \[M = \rho_d V_d + \rho_c V_c = \rho_d V_d + \rho_c (V - V_d) = \rho_c V - (\rho_c - \rho_d) V_d,\] где \(\rho_d\) и \(\rho_c\) — плотность дырок и плотность монолитного сыра соответственно, а \(V_d\), \(V_c\) и \(V\) — объём всех дырок, объём монолитного сыра и суммарный объём сыра (дан в условиях задачи) соответственно.
2) Запишем выражение для веса \(P_1\), фиксируемого динамометром при погружении сыра в воду (подставим при этом найденное выражение для массы целого куска сыра): \[P_1 = M g - \rho_{\text{в}} V g = \rho_c V g - (\rho_c - \rho_d) V_d g - \rho_{\text{в}} V g \quad\Rightarrow\quad V_d = \frac{(\rho_c - \rho_{\text{в}}) V g - P_1}{g\,(\rho_c - \rho_d)} .\]
3) Известно, что объём сыра после его затвердевания уменьшился на \(10\%\), тогда верно \(V - V_d = 0{,}9\,V\), откуда \(V_d = 0{,}1\,V\).
4) Заметим, что плотность дырок, а если быть точным, плотность воздуха, заполняющего дырки, мала по сравнению с плотностями твёрдых тел, поэтому плотностью дырок в данной задаче можно пренебречь. Тогда будет верно \[\rho_c = \frac{\dfrac{P_1}{g} + \rho_{\text{в}} V}{V - V_d} = \frac{\dfrac{P_1}{g} + \rho_{\text{в}} V}{0{,}9\,V} = \frac{10}{9}\left(\frac{P_1}{V g} + \rho_{\text{в}}\right).\] Подставляя известные значения, находим искомую плотность монолитного сыра: \[\rho_c \approx 1{,}34\text{ г/см}^3 .\]
Источник: Олимпиада «Курчатов» по физике, 2023/24, заключительный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.