Курчатов, 2023/24, заключительный этап, 8 класс

Скорость испарения найдите по наклону графика \(m(t)\); мощность нагревателя известна из напряжения и тока. Во втором пункте запишите баланс теплоты для конденсации пара и нагревания воды.

1) \(E = 2{,}3\text{ МДж}\);  2) \(t = 64{,}8\,^\circ\text{C}\).

1) Построив график по табличным данным, находим скорость испарения воды: \(u \approx 0{,}87\cdot 10^{-3}\text{ кг/с}\). Тогда искомая энергия, необходимая для испарения \(1\text{ кг}\) воды при температуре \(100\,^\circ\text{C}\), равна \[E = \frac{P}{u} = \frac{UI}{u} \approx 2{,}3\text{ МДж}.\]

2) Запишем уравнение теплового баланса, чтобы найти температуру, до которой нагреется часть воды массой \(0{,}9\text{ кг}\) при пропускании через нее горячего пара (для которого известна энергия, необходимая для испарения одного килограмма воды): \[0{,}1\,E = 0{,}9\,(t' - 0)\,c_\text{в} \quad\Rightarrow\quad t' \approx 60{,}8\,^\circ\text{C}.\] Таким образом, мы имеем смесь воды массой \(0{,}9\text{ кг}\) при температуре \(60{,}8\,^\circ\text{C}\) и воды массой \(0{,}1\text{ кг}\) при температуре \(100\,^\circ\text{C}\). Уравнение теплового баланса примет вид: \[0{,}9\,(t - 60{,}8) = 0{,}1\,(100 - t).\] Тогда \(t = 64{,}8\,^\circ\text{C}\).

Запишите условия равновесия сначала для большого рычага (найдите натяжение его правого плеча), затем для каждого малого рычага, учитывая натяжение внутренней нити между ними.

\(\dfrac{m}{M} = \dfrac{112}{53}\).

1) Обозначим силы, действующие на левое и правое плечи большого рычага, как \(T_1\) и \(T_2\) соответственно. Из условия равновесия большого рычага: \[T_1 \cdot 4l = T_2 \cdot 7l, \qquad T_2 = \frac{4}{7}\,T_1.\] По условию \(T_1 = \dfrac{mg}{2}\), откуда \(T_2 = \dfrac{2}{7}\,mg\).

2) Запишем условия равновесия малых рычагов, обозначив силу натяжения внутренней нити между их плечами через \(T_3\): \[\left(mg - T_1\right) l = T_3\, l \quad\Rightarrow\quad \frac{mg}{2}\, l = T_3\cdot 2l,\] \[\left(Mg - T_2\right) 4l = T_3\cdot 3l \quad\Rightarrow\quad \left(Mg - \frac{2}{7}\,mg\right) 4l = T_3\cdot 3l.\] Откуда \[\frac{1}{4}\,mg = \frac{4}{3}\,Mg - \frac{8}{21}\,mg, \qquad \frac{53}{84}\,mg = \frac{4}{3}\,Mg, \qquad \frac{m}{M} = \frac{112}{53}.\]

Давление на каждый поршень складывается из давления у верхней крышки и гидростатического давления столба жидкости над поршнем.

\(h_1 = 5\text{ см}\).

1) Давления, создаваемые поршнями, расположенными на одном и том же удалении \(h_2\) от верхней стенки сосуда, совпадают. Условие равновесия для одного из нижних поршней: \[P_2 = \rho g h_2 + P_0,\] где \(P_0\) — давление у верхней стенки сосуда. Отсюда \(P_0 = P_2 - \rho g h_2\).

2) Для поршня, расположенного на высоте \(h_1\) от верхней крышки сосуда, аналогично: \[P_1 = \rho g h_1 + P_0.\] Подставляя \(P_0\), получаем \(\rho g h_1 = P_1 - P_2 + \rho g h_2\), откуда \[h_1 = \frac{P_1 - P_2}{\rho g} + h_2 = -0{,}05\text{ м} + 0{,}1\text{ м} = 0{,}05\text{ м} = 5\text{ см}.\]

Сначала найдите массу льда, нужную для охлаждения до \(10\,^\circ\text{C}\). Затем запишите баланс теплоты за время, пока лёд тает, и отдельно — после того как лёд растаял.

1) \(t = 6{,}0\text{ мин}\);  2) \(T_\text{кон} = 14{,}0\,^\circ\text{C}\).

1) Количество льда, которое потребовалось для охлаждения лимонада до \(10\,^\circ\text{C}\): \[m_\text{льда} = 8\, a^3\, \rho_\text{льда} = 57{,}6\text{ г}.\]

2) Уравнение теплового баланса за время, пока лёд тает: \[c\, m\, \Delta T + P t = \lambda\, m_\text{льда} + c\, m_\text{льда}\,\Delta T, \qquad \Delta T = 10\,^\circ\text{C},\] откуда \[t = \frac{\lambda\, m_\text{льда} + c\, m_\text{льда}\,\Delta T - c\, m\,\Delta T}{P} = 6{,}0\text{ мин}.\]

3) К моменту \(t = 6\) мин напиток состоит из \(300\text{ г}\) лимонада и \(57{,}6\text{ г}\) талой воды, его температура \(10\,^\circ\text{C}\). Далее напиток нагревается за счёт теплообмена с воздухом. Уравнение теплового баланса: \[c\, m_\text{лимонада}\,\Delta T' + c\, m_\text{воды}\,\Delta T' = P\,\Delta t,\] где \(\Delta T' = T_\text{кон} - T_2\), \(\Delta t = 10\text{ мин} - 6\text{ мин} = 4\text{ мин}\). Получаем \(\Delta T' = 4{,}0\,^\circ\text{C}\), т.е. \(T_\text{кон} = 14{,}0\,^\circ\text{C}\).

Центр масс системы опускается, пока вода поступает ниже него; самое низкое положение — когда уровень воды совпадает с высотой центра масс системы. Далее примените правило моментов.

\(t = 75\text{ с}\).

1) Пусть \(m\) — масса набранной в куб воды, \(h\) — высота водяного столба в кубе, \(l\) — высота центра масс системы в произвольный момент времени. Собственный центр масс куба находится на высоте \(\dfrac{a}{2}\), центр масс воды — на высоте \(\dfrac{h}{2}\). Пока вода добавляется ниже центра масс системы, эта высота уменьшается.

2) Высота центра масс системы не может быть уменьшена добавлением воды, если она совпадает с высотой водяного столба, то есть при \(l = h\). Применяя правило моментов, получаем: \[M\left(\frac{a}{2} - l\right) = m\left(l - \frac{h}{2}\right).\] Используя \(l = h\) и \(m = \rho a^2 h\), получаем квадратное уравнение относительно \(h\): \[\rho a^2 h^2 + 2Mh - Ma = 0.\] Отбрасывая отрицательный корень: \[h = \frac{M\left(\sqrt{1 + \dfrac{\rho a^3}{M}} - 1\right)}{\rho a^2}.\]

3) Искомый момент времени: \[t = \frac{m}{u} = \frac{\rho a^2 h}{u} = \frac{M}{u}\left(\sqrt{1 + \frac{\rho a^3}{M}} - 1\right) = 75\text{ с}.\]