Курчатов, 2024/25, заключительный этап, 7 класс

Запишите условие равновесия шара вместе со льдом до таяния и после него. Разность сил натяжения связана с разностью объёмов льда, который вытеснял воду.

\(\rho_{\text{лед}} = 883{,}4\) кг/м\(^3\).

1. На систему «шар и лёд» действуют сила тяжести, сила натяжения верёвки \(T_1\) и выталкивающая сила Архимеда. Из условия равновесия \[T_1 + m_{\text{лед}} g + m_{\text{шар}} g = \rho_{\text{вода}} V_{\text{лед}} g .\] 2. После таяния льда условие равновесия шара: \[T_2 + m_{\text{шар}} g = \rho_{\text{вода}} V_{\text{шар}} g .\] 3. Разность сил натяжения: \(T_1 - T_2 = \Delta T\). Подставляя, получаем \[\Delta T + m_{\text{лед}} g = \rho_{\text{вода}} V_{\text{лед}} g - \rho_{\text{вода}} V_{\text{шар}} g .\] 4. Пренебрегая объёмом шара и используя \(m_{\text{лед}} = \rho_{\text{лед}} V_{\text{лед}}\), получаем \[\rho_{\text{лед}} = \rho_{\text{вода}} - \frac{\Delta T}{a^3 g} = 883{,}4~\text{кг/м}^3 .\]

Найдите среднюю скорость пассажира относительно земли в каждом из двух режимов движения: за цикл из пяти шагов и при обычной ходьбе. Длина эскалатора одна и та же.

\(t_2 = 26{,}3\) с.

Пусть время одного шага равно \(\tau\). За \(5\tau\) пассажир смещается относительно земли на \[S_1 = 2\tau v - 3\tau u + 3\tau v + 2\tau u = 5\tau v - \tau u ,\] значит, его средняя скорость в этом режиме равна \[v_{\text{ср1}} = \frac{S_1}{5\tau} = \frac{5v - u}{5} .\] Длина эскалатора \(L = v_{\text{ср1}} t_1 = \dfrac{5v - u}{5}\, t_1\).

При обычной ходьбе за время \(\tau\) пассажир смещается на \(S_2 = \tau v + \tau u\), то есть \(v_{\text{ср2}} = v + u\). Тогда \(L = v_{\text{ср2}} t_2\), откуда \[t_2 = \frac{5v - u}{5(v + u)}\, t_1 \approx 26{,}3~\text{с} .\]

Сначала найдите расчётную плотность смеси по формуле для простой смеси, учитывая, что экспериментальная плотность на \(5\%\) выше расчётной. Затем переходите от объёмных долей к массовым.

олова — \(75\%\), свинца — \(25\%\).

Пусть \(x\) — расчётная объёмная доля олова. Для простой смеси \[\frac{\rho_1 V_1 + \rho_2 V_2}{V} = \rho_{\text{ср}} , \qquad V = V_1 + V_2 ,\] то есть \(7{,}3\,x + 11{,}3\,(1 - x) = \rho_{\text{ср}}\). Расчётная плотность \(\rho_{\text{ср}} = \dfrac{8{,}4}{1{,}05} = 8\) г/см\(^3\). Тогда \[7{,}3\,x + 11{,}3\,(1 - x) = 8 \;\Rightarrow\; x = \frac{3{,}3}{4} = 0{,}825 .\] Массовая доля олова связана с объёмной соотношением \[\frac{m_1}{m} = \frac{V_1}{V}\cdot\frac{\rho_1}{\rho_{\text{ср}}} = 0{,}825\cdot\frac{7{,}3}{8} \approx 0{,}75 .\] Аналогично для свинца: \[\frac{m_2}{m} = (1 - 0{,}825)\cdot\frac{11{,}3}{8} \approx 0{,}25 .\] Итак, массовая доля олова примерно \(75\%\), свинца около \(25\%\). Плотность \(8{,}4\) г/см\(^3\) выше расчётной \(8{,}0\) г/см\(^3\), что указывает на изменение объёмов при сплавлении.

Запишите правило моментов для составного блока, связав натяжения нити по обе стороны от большого диска. Затем запишите условия равновесия для каждого груза.

\(M = 750\) г.

1. Правило моментов для неподвижного составного блока даёт связь натяжений по разные стороны от большого диска: \[T_1 R + T_2 \cdot 3R = T_1 \cdot 3R , \qquad T_2 = \frac{2}{3} T_1 .\] 2. Условия равновесия грузов: \(T_2 = 2mg\) и \(2T_1 = mg + Mg\). Отсюда \(M = 5m = 750\) г.

Выразите давления поршней через силы и плечи рычага, затем запишите равенство гидростатических давлений на дне для колен 1, 2 и 3.

\(\dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{5}{3}\).

Пусть на левое плечо рычага действует сила \(F_1\), на правое — \(F_2\). Через нити эти силы передаются на поршни, создавая дополнительные давления \(P_1 = F_1/S_1\) и \(P_2 = F_2/S_2\). Из равенства моментов \(F_1 l_1 = F_2 l_2\) получаем связь давлений \[P_1 = \frac{S_2 l_2}{S_1 l_1}\, P_2 .\] Гидростатическое давление на дне общей части одинаково для всех колен. Для колен 1 и 2: \(\rho g h_1 + P_1 = \rho g h_2 + P_2\), то есть \[\left(1 - \frac{S_2 l_2}{S_1 l_1}\right) P_2 = \rho g (h_1 - h_2) .\] Для колен 2 и 3: \(\rho g h_2 + P_2 = \rho g h_3\), то есть \(P_2 = \rho g (h_3 - h_2)\). Подставляя и сокращая на \(\rho g h_1\), получаем \[\left(1 - \frac{S_2 l_2}{S_1 l_1}\right)\left(\frac{h_3}{h_1} - \frac{h_2}{h_1}\right) = 1 - \frac{h_2}{h_1} .\] По условию \(\dfrac{h_3}{h_1} - \dfrac{h_2}{h_1} = 0{,}2\) и \(1 - \dfrac{h_2}{h_1} = -0{,}8\). С учётом \(S_2 = 3 S_1\): \[\left(1 - 3\,\frac{l_2}{l_1}\right)\cdot 0{,}2 = -0{,}8 \;\Rightarrow\; \frac{l_2}{l_1} = \frac{5}{3} .\]