Курчатов, 2024/25, заключительный этап, 8 класс

Подсказка

Средняя скорость сноса равна полному сносу, делённому на полное время переправы. Выразите снос через времена на каждой половине пути.

Ответ

в \(1{,}5\) раза.

Решение

Пусть ширина реки равна \(2D\): \(D\) — поперёк до середины и \(D\) — от середины до другого берега. Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости лодки поперёк реки на первой и второй половинах пути. Тогда \(T_1 = D/v_1\), \(T_2 = D/v_2\), полный снос \(S = u_1 T_1 + u_2 T_2\), полное время \(T = T_1 + T_2\). По условию \[\frac{S}{T} = \frac{10\,T_1 + 15\,T_2}{T_1 + T_2} = 12 .\] Отсюда \(-2T_1 + 3T_2 = 0\), то есть \(T_2 = \dfrac{2}{3}T_1\). Поскольку \(T_1 = D/v_1\) и \(T_2 = D/v_2\), получаем \(v_2 = \dfrac{3}{2}v_1\): во вторую половину пути лодочник греб в полтора раза быстрее.

Подсказка

Пельмень нужно нагреть от \(-20\,^\circ\text{C}\) до \(100\,^\circ\text{C}\), учитывая нагрев льда, его плавление и нагрев воды из пельменя. Затем используйте мощность плиты и тепловой баланс для скорости роста температуры воды.

Ответ

1) \(\tau = 12{,}5\) с; 2) график — в решении.

Решение

1. Вода перестаёт кипеть, так как холодный пельмень охлаждает окружающую его воду. Чтобы нагреть пельмень от \(t_1 = -20\,^\circ\text{C}\) до \(t_2 = 100\,^\circ\text{C}\), нужно передать ему количество теплоты \[Q = m_п c_{п1}(t_0 - t_1) + w\, m_п \lambda + m_п c_{п2}(t_2 - t_0),\] где \(t_0 = 0\,^\circ\text{C}\), \(w = 0{,}7\). Время, через которое вода снова закипит, \[\tau = \frac{Q}{P} = 12{,}5~\text{с} .\]

2. Из уравнения теплового баланса \(P\tau = m_в c_в\,\Delta t\) скорость роста температуры воды \[\frac{\Delta t}{\tau} = \frac{P}{m_в c_в} = 0{,}2\,^\circ\text{C/с} .\] Поэтому график растёт прямой линией с этим наклоном. При каждом забрасывании пельменя температура падает на \(1\,^\circ\text{C}\). Получается график:

Подсказка

Рассмотрите планку вместе с грузом \(M\) и запишите равновесие сил и моментов относительно опорной точки доски. Затем используйте, что сила реакции доски неотрицательна.

Ответ

1) \(35~\text{кг} \le m \le 42~\text{кг}\); 2) \(m = 35~\text{кг}\).

Решение

Обозначим массу груза, подвешенного к крайнему блоку, как \(m\), силу натяжения нити, прикреплённой к левому подвижному блоку, как \(T\), силу реакции доски как \(N\), длину одной части планки как \(L\).

Рассмотрим систему «планка и груз \(M\)». Равенство сил в проекции на вертикальную ось: \[\frac{3T}{2} + N + mg = Mg + \frac{mg}{2} .\] Равенство моментов относительно оси, проходящей через опорную точку доски: \[\frac{3LT}{2} + 6Lmg = 3LMg + \frac{7Lmg}{2} .\] Решая систему, получаем \[T = 2Mg - \frac{5mg}{3}, \qquad N = 2mg - 2Mg .\] Силы \(N\) и \(T\) направлены вверх, поэтому должны быть положительными. Кроме того, сила \(T/2\) не должна превышать \(Mg\), иначе груз на планке начнёт подниматься и равновесие нарушится. Из \(N \ge 0\) и \(0 \le T \le 2Mg\) получаем двойное неравенство \[M \le m \le \frac{6M}{5} .\] Подставляя \(M = 35\) кг, находим \(35~\text{кг} \le m \le 42~\text{кг}\).

Для второго вопроса рассмотрим предельный случай \(N = 0\), откуда \(m = M = 35\) кг.

Подсказка

Из первых двух опытов выразите \(R_1\) и \(R_2\) через \(R\). В третьем опыте общее сопротивление цепи равно \(R + \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}\).

Ответ

\(R = 4 - \sqrt{2} \approx 2{,}59\) Ом.

Решение

В первом опыте \(R + R_1 = \dfrac{U}{I_1} = 5\) Ом, во втором \(R + R_2 = \dfrac{U}{I_2} = 6\) Ом. В третьем опыте амперметры включены параллельно, и их параллель соединена с \(R\) последовательно. Полный ток \(I_3 = 3\) А, значит \[R + \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{U}{I_3} = 4~\text{Ом} .\] Из первых двух опытов \(R_1 = 5 - R\), \(R_2 = 6 - R\). Тогда \[\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(5 - R)(6 - R)}{11 - 2R} = \frac{30 - 11R + R^2}{11 - 2R} ,\] и уравнение принимает вид \(R + \dfrac{30 - 11R + R^2}{11 - 2R} = 4\). Умножая на \((11 - 2R)\), получаем квадратное уравнение \[R^2 - 8R + 14 = 0 .\] Дискриминант равен \(64 - 56 = 8\), откуда \(R = 4 \pm \sqrt{2}\) Ом. Сопротивления амперметров должны быть положительными, поэтому \(R\) не может превышать \(5\) Ом. Физически возможен меньший корень: \[R = 4 - \sqrt{2} \approx 2{,}59~\text{Ом} .\]

Подсказка

Сначала проверьте, растаял ли лёд полностью: если бы он растаял весь, уровень упал бы примерно на \(5\%\). Затем составьте уравнение теплового баланса для растаявшей части льда.

Ответ

\(t_x = 30\,^\circ\text{C}\).

Решение

Проверим, растаял ли лёд полностью. Если бы он растаял весь, то относительное уменьшение уровня воды было бы \[\alpha_0 = \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0 + \rho} \approx 5\% ,\] что не совпадает с \(2{,}0\%\). Значит, лёд растаял не полностью, и установившаяся температура воды равна \(t_0 = 0\,^\circ\text{C}\).

Пусть растаяла масса \(\Delta m\). Изменение объёма \[\Delta V' = \frac{\Delta m}{\rho} - \frac{\Delta m}{\rho_0},\] откуда относительное уменьшение уровня \(\alpha = \dfrac{\Delta m}{m}\cdot \dfrac{\rho_0 - \rho}{\rho_0 + \rho}\), и \[\frac{\Delta m}{m} = \alpha\,\frac{\rho_0 + \rho}{\rho_0 - \rho} .\] Уравнение теплового баланса \(c_в m (t_x - t_0) = \lambda\,\Delta m\) даёт \[t_x = t_0 + \frac{\lambda}{c_в}\cdot\frac{\Delta m}{m} = 0 + \frac{330\cdot 10^3}{4{,}2\cdot 10^3}\cdot 0{,}02\cdot\frac{1{,}9}{0{,}1} = 30\,^\circ\text{C} .\]