Курчатов, 2025/26, заключительный этап, 7 класс

Условие равновесия рычага связывает массу кубика с его координатой. Как меняется масса кубика со временем и какая масса растаяла за время движения?

\(\langle\mu\rangle = \dfrac{Mav}{x_0x_1} = 0{,}40\text{ г/с}\).

Поскольку рычаг остаётся в равновесии, моменты сил тяжести, приложенных к кубику льда и грузу, относительно оси \(O\) равны по модулю: \[mg\cdot x = Mg\cdot a .\] Сокращая \(g\), получаем \[mx = Ma .\] В силу пренебрежимо малого трения между рычагом и кубиком кубик движется равномерно, при этом его координата меняется по закону \(x(t) = x_0 + vt\). С учётом записанного выражения получим зависимость массы кубика от времени: \[m(t) = \dfrac{Ma}{x(t)} = \dfrac{Ma}{x_0 + vt} .\] Время движения \(t_1\) кубика до края рычага (\(x(t_1) = x_1\)): \[t_1 = \dfrac{x_1 - x_0}{v} .\] Начальная и конечная массы кубика льда: \[m_0 = \dfrac{Ma}{x_0}, \qquad m_1 = \dfrac{Ma}{x_1} .\] Средняя скорость таяния по определению из условия: \[\langle\mu\rangle = \dfrac{m_0 - m_1}{t_1} = \dfrac{\dfrac{Ma}{x_0} - \dfrac{Ma}{x_1}}{\dfrac{x_1 - x_0}{v}} = \dfrac{Mav}{x_0x_1} .\] Подставляя значения из условия: \[\langle\mu\rangle = \dfrac{0{,}50\cdot 20\cdot 0{,}02}{10\cdot 50} = 4\cdot 10^{-4}\text{ кг/с} = 0{,}40\text{ г/с} .\]

В обоих опытах сила упругости уравновешивает либо силу трения, либо силу тяжести. Запишите закон Гука для каждого из случаев и вычтите одно уравнение из другого.

\(l_0 = 110\text{ мм}\).

При равномерном горизонтальном движении сила упругости пружины равна по модулю силе трения: \[F_{\text{упр1}} = \mu Mg = 0{,}5\cdot 24\cdot 10 = 120\text{ Н} .\] В случае вертикального равновесия сила упругости равна по модулю силе тяжести: \[F_{\text{упр2}} = Mg = 24\cdot 10 = 240\text{ Н} .\] Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна абсолютной деформации пружины: \[F_{\text{упр}} = k\,\Delta l ,\] где \(k\) — жёсткость пружины, \(\Delta l = |l - l_0|\) — удлинение пружины относительно недеформированной длины \(l_0\).

Для первого случая (горизонтальное растяжение) \(F_{\text{упр1}} = k(l_1 - l_0)\), для второго случая (вертикальное растяжение) \(F_{\text{упр2}} = k(l_2 - l_0)\).

Вычтем первое уравнение из второго: \[F_{\text{упр2}} - F_{\text{упр1}} = k(l_2 - l_1) .\] Отсюда находим жёсткость: \[k = \dfrac{F_{\text{упр2}} - F_{\text{упр1}}}{l_2 - l_1} = \dfrac{240 - 120}{0{,}170 - 0{,}140} = \dfrac{120}{0{,}030} = 4000\text{ Н/м} .\] Длина недеформированной пружины: \[l_0 = l_1 - \dfrac{F_{\text{упр1}}}{k} = 0{,}14 - \dfrac{120}{4000} = 0{,}11\text{ м} .\]

Система плавает в полностью погружённом состоянии, когда её вес равен силе Архимеда. Объём вытесненной воды складывается из полости колокола и объёмов монет.

\(N_{\max} = 89\).

1. Чтобы система плавала в полностью погружённом состоянии, сила тяжести должна быть уравновешена силой Архимеда: \[F_g = F_A \quad\Longrightarrow\quad (M_{\text{м}} + N m_0)\,g = \rho_в\, g\, V_{\text{полн}} .\] 2. Масса слоя масла внутри колокола: \(V_{\text{м}} = S h\), тогда \[M_{\text{м}} = \rho_м S h = 900\cdot 0{,}01\cdot 0{,}1 = 0{,}9\text{ кг} .\] 3. Суммарный объём вытесненной воды складывается из объёма полости колокола (занятой воздухом и маслом) и объёма погружённых монет: \[V_{\text{полн}} = V + N V_0 .\] 4. Подставим выражения масс и объёмов в уравнение равновесия и сократим на \(g\): \[M_{\text{м}} + N m_0 = \rho_в (V + N V_0), \qquad N(m_0 - \rho_в V_0) = \rho_в V - M_{\text{м}} .\] 5. Искомое количество монет: \[N = \dfrac{\rho_в V - M_{\text{м}}}{m_0 - \rho_в V_0} = \dfrac{1000\cdot 0{,}003 - 0{,}9}{0{,}025 - 1000\cdot 1{,}5\cdot 10^{-6}} = \dfrac{2{,}1}{0{,}0235} \approx 89{,}36 .\] 6. Так как \(N\) должно быть целым числом, а при \(N = 90\) средняя плотность системы превысит плотность воды и она утонет, максимальное число монет равно \(N_{\max} = 89\).

Пробку удерживают атмосферное давление снаружи и трение о дно, а выталкивает давление жидкости. Давление жидкости на торец пробки берите на глубине середины отверстия.

\(H_{\min} \approx 0{,}61\text{ м}\).

Пробка удерживается в отверстии за счёт силы трения о дно сосуда и атмосферного давления, действующего на её внешний торец. Выталкиванию пробки препятствуют сила атмосферного давления \(p_0 S\), действующая на внешний торец пробки наружу, и сила трения \(F_{\text{тр}}\) о дно. Выталкивает пробку сила давления жидкости \(p_{\text{ср}} S\) на внутренний торец, где \(p_{\text{ср}}\) — среднее давление жидкости на торец пробки.

Условие отсутствия движения пробки: \[p_{\text{ср}} S \ge F_{\text{тр}} + p_0 S .\] Среднее давление жидкости на торец пробки равно давлению на глубине середины отверстия: \[p_{\text{ср}} = p_0 + \rho g\left(H + \dfrac{h}{2}\right) .\] Площадь торца \(S = d\,h\) (где \(d\) — ширина отверстия), сила трения \[F_{\text{тр}} = \mu(\rho g H + p_0)\,\ell d .\] Подставляя, получаем \[\left(p_0 + \rho g\left(H + \dfrac{h}{2}\right)\right) d h \ge \mu(\rho g H + p_0)\,\ell d + p_0 d h .\] Сокращая на \(d\) и приводя подобные, получаем \[\rho g h H + \dfrac{\rho g h^2}{2} \ge \mu\rho g \ell H + \mu p_0 \ell ,\] откуда следует неравенство для высоты уровня жидкости: \[H \ge \dfrac{\mu p_0 \ell - \rho g h^2/2}{\rho g (h - \mu\ell)} .\] Подставляя числа: \[H_{\min} = \dfrac{0{,}3\cdot 100000\cdot 0{,}01 - 1000\cdot 10\cdot (0{,}05)^2/2}{1000\cdot 10\cdot (0{,}05 - 0{,}3\cdot 0{,}01)} = \dfrac{300 - 12{,}5}{470} = \dfrac{287{,}5}{470} \approx 0{,}61\text{ м} .\]

Масса жидкости выражается через среднюю плотность столба. Плавающий кубик увеличивает общую массу содержимого сосуда на свою массу.

\(\Delta h = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2(M+m)\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - \left(1 + \dfrac{2M\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2}\right]\).

Выразим массу жидкости через среднюю плотность: \[M = \rho_{\text{ср}} h_0 S = \dfrac{\rho_0 + \rho(h_0)}{2}\, h_0 S = \rho_0 h_0\left(1 + \dfrac{\alpha h_0}{2}\right) S .\] Отсюда \[\alpha h_0^2 + 2h_0 - \dfrac{2M}{S\rho_0} = 0, \qquad h_0 = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2M\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - 1\right] .\] При условии плавания кубика его погружение эквивалентно увеличению общей массы жидкости: \[h = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2(M+m)\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - 1\right] .\] Для обоснования представим, что у сосуда с жидкостью убрали дно и поставили такую конструкцию на весы. С одной стороны показания весов определяются суммой масс жидкости и погружённого в неё тела, а с другой — на чашу весов давит сила гидростатического давления столба жидкости (кубик плавает, не касаясь дна). Увеличение показаний весов соответствует увеличению высоты столба, поэтому новая высота соответствует новой массе содержимого сосуда.

Изменение высоты столба жидкости: \[\Delta h = h - h_0 = \dfrac{1}{\alpha}\left[\left(1 + \dfrac{2(M+m)\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2} - \left(1 + \dfrac{2M\alpha}{S\rho_0}\right)^{1/2}\right] .\]