Росатом, 2016/17, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Выразите времена прохождения всех отрезков через время на \(RB\) и найдите, сколько времени занимает первая половина пути.

Ответ

\(v_{\text{ср}} = \dfrac{3}{20}\,v\).

Решение

Пусть \(AP = l\). Тогда \(PQ = 2l\), \(QR = 3l\), \(RB = 4l\). Пусть время, затраченное на прохождение отрезка \(RB\), равно \(t\). Тогда времена, затраченные на прохождение остальных участков пути, равны: на \(QR\) — \(2t\), на \(PQ\) — \(3t\), на \(AP\) — \(4t\), а скорость \[v = \frac{4l}{t}.\] Средняя скорость машины на первой половине пути равна отношению длины половины пути (\(5l\)) ко времени, затраченному на её прохождение. Первая половина пути состоит из участка \(AP\), участка \(PQ\) и двух третей участка \(QR\). Поэтому на её прохождение автомобиль затратит время \[t_0 = 4t + 3t + \frac{2}{3}\cdot 2t = \frac{25}{3}\,t.\] Отсюда для средней скорости автомобиля на первой половине пути \[v_{\text{ср}} = \frac{5l}{\frac{25}{3}t} = \frac{3l}{5t} = \frac{3}{20}\,v.\]

Подсказка

По двум точкам траектории найдите скорость тела на высоте \(h\), а затем воспользуйтесь законом сохранения энергии для начальной высоты.

Ответ

\(H = h + \dfrac{1}{2g}\left(\dfrac{3h}{4\,\Delta t} - \dfrac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}\).

Решение

Основная идея решения заключается в том, что, рассматривая движение тела от точки на высоте \(h\) до точки на высоте \(h/4\), можно найти его скорость на высоте \(h\), а потом, например, на основе закона сохранения энергии — высоту начальной точки над землёй.

Законы равноускоренного движения для движения от точки на высоте \(h\) до точки на высоте \(h/4\) дают \[\frac{3h}{4} = v_0\,\Delta t + \frac{g\,\Delta t^2}{2}.\] Отсюда находим \[v_0 = \frac{3h}{4\,\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}.\] Теперь по закону сохранения механической энергии \[\frac{m v_0^2}{2} = mgl.\] Находим высоту \(l\) начальной точки над точкой, находящейся на высоте \(h\) над землёй: \[l = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{1}{2g}\left(\frac{3h}{4\,\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}.\] А затем и искомая высота \(H\) начальной точки над землёй: \[H = h + l = h + \frac{1}{2g}\left(\frac{3h}{4\,\Delta t} - \frac{g\,\Delta t}{2}\right)^{2}.\]

Подсказка

Для двух контуров запишите второй закон Кирхгофа для напряжений, а затем учтите, что токи через одинаковые вольтметры пропорциональны их показаниям.

Ответ

\(U_1 = \dfrac{7}{4}U\), \(U_2 = \dfrac{3}{4}U\), \(U_3 = U_4 = \dfrac{5}{4}U\).

Решение

Очевидно, показания третьего и четвёртого вольтметров равны: \(U_3 = U_4\).

Поскольку сумма напряжений на элементах любого замкнутого контура равна нулю, для показаний второго и четвёртого вольтметров имеем \[U_2 + U_4 = 2U.\] Для первого и третьего \[U_1 + U_3 = 3U.\] С другой стороны, вольтметры одинаковы, следовательно, напряжения на них пропорциональны токам через них. Но сумма токов, текущих через первый и второй вольтметр, равна сумме токов, текущих через третий и четвёртый. Поэтому \[U_3 + U_4 = U_1 + U_2.\] Решая эту систему уравнений, получим \[U_1 = \frac{7U}{4}, \quad U_2 = \frac{3U}{4}, \quad U_3 = U_4 = \frac{5U}{4}.\]

Подсказка

Без потерь время нагрева при уменьшении мощности вдвое возрастало бы вдвое. Здесь это не так, значит, нужно учитывать теплопотери, которые одинаковы в обоих опытах.

Ответ

\(t_3 = \dfrac{P - w}{2P - w}\,t_1 \approx 4{,}6\) с (здесь \(w \approx 143\) Вт — мощность теплопотерь).

Решение

Очевидно, что в задаче нужно учитывать потери. Действительно, если бы потерь не было, то при двукратном уменьшении мощности нагревателя время нагрева жидкости на ту же величину \(\Delta T\) возросло бы вдвое, а оно по условию больше. Поэтому уравнение теплового баланса для первого случая даёт \[cm\,\Delta T = P t_1 - w t_1,\] где \(w\) — мощность теплопотерь. Для второго нагревателя (мощность теплопотерь такая же, поскольку разность температур жидкости и окружающей среды изменилась мало) имеем \[cm\,\Delta T = \frac{P}{2}\,t_2 - w t_2.\] Решая эту систему уравнений, получим для мощности теплопотерь \[w = \frac{P(t_2 - 2t_1)}{2(t_2 - t_1)} = 143~\text{Вт}.\] Для третьего случая уравнение теплового баланса с учётом потерь даёт \[cm\,\Delta T = 2P t_3 - w t_3.\] Отсюда \[P t_1 - w t_1 = 2P t_3 - w t_3 \quad\Rightarrow\quad t_3 = \frac{P - w}{2P - w}\,t_1 \approx 4{,}6~\text{с}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для обоих тел, моменты сил для невесомых блоков и связь между ускорениями: нижний блок опускается вдвое медленнее, чем нить разматывается с большого диска.

Ответ

\(a_1 = \dfrac{28}{19}\,g\) (для груза \(m\)), \(a_2 = \dfrac{7}{19}\,g\) (для груза \(3m\)), оба направлены вниз.

Решение

Очевидно, векторы ускорений обоих тел направлены вниз. Действительно, при движении тела \(m\) вниз с верхнего блока сматывается больше нити, чем на него наматывается, следовательно, нижний блок (и нижнее тело) опускается.

Второй закон Ньютона для обоих тел даёт (в проекциях на ось \(x\), направленную вертикально вниз): \[\begin{aligned} m a_1 &= mg + T_2 - T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - T, \end{aligned} \qquad (*)\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел с массами \(m\) и \(3m\) соответственно, \(T_1\) — сила натяжения нити, идущей к грузу \(m\), \(T_2\) — натяжение нити между блоками, \(T\) — натяжение нити, идущей к нижнему блоку.

Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы \(T_2\), направленные вверх, и сила \(T\), направленная вниз, то \(T = 2T_2\). Верхний блок вращают силы \(T_2\) с плечом \(R/2\) и сила \(T_1\) с плечом \(R\). Поскольку он также не имеет массы, его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому \[T_1 R = T_2 \frac{R}{2} \quad\Rightarrow\quad T_2 = 2T_1.\]

В результате система уравнений \((*)\) принимает вид \[\begin{aligned} m a_1 &= mg + T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - 4T_1. \end{aligned} \qquad (**)\] Найдём связь ускорений. Пусть тело \(m\) спустилось на величину \(\Delta l\). Значит, с большого блока смоталась нить длиной \(\Delta l\), на малый намотается \(\Delta l/2\). Нить станет длиннее на \(\Delta l/2\), нижний блок опустится на \(\Delta l/4\). Следовательно, если ускорение тела \(m\) равно \(a_1\), то ускорение тела \(3m\) равно \(a_1/4\): \[a_1 = 4a_2.\] В результате система уравнений \((**)\) примет вид \[\begin{aligned} 4m a_2 &= mg + T_1,\\ 3m a_2 &= 3mg - 4T_1. \end{aligned}\] Решая систему, найдём \[a_1 = \frac{28}{19}\,g, \qquad a_2 = \frac{7}{19}\,g.\]