Росатом, 2016/17, заключительный этап, 11 класс

Сначала скорость уменьшилась до нуля, затем тело разогналось в обратную сторону. Запишите путь через начальную скорость и ускорение для обоих участков.

\(\Delta t=\sqrt{\dfrac{8S}{5a}}\).

Из законов равноускоренного движения имеем \(4v_0^2+v_0^2=2aS\), где \(v_0\) — начальная скорость тела. Отсюда \(v_0=\sqrt{\dfrac{2aS}{5}}\). Применяя теперь к движению от этой точки до точки, в которой его скорость стала равна \(4v_0\), получим \(4v_0=2v_0+a\,\Delta t\), где \(\Delta t\) — искомое время. Отсюда \(\Delta t=\sqrt{\dfrac{8S}{5a}}\).

Проверьте, может ли малый поршень удержаться в равновесии на прежней высоте. Что произойдёт с газом, если он весь окажется в широком сосуде?

\(h_1=\dfrac{5}{2}\,h\).

Пусть давление газа в сосуде равно \(p\). Тогда условия равновесия поршней дают \(pS_1=mg\), \(pS_2=\dfrac{3}{2}mg\), где \(S_1\) и \(S_2\) — площади сечения более узкого и более широкого сосуда соответственно. Деля эти уравнения друг на друга, найдем отношение площадей сечения сосудов \(S_1/S_2=2/3\). Когда с большого поршня мы снимаем груз, условия равновесия обоих поршней одновременно не могут удовлетвориться при любом их положении. Это значит, что малый поршень должен опуститься на дно сосуда, а весь газ перейти в большой сосуд, причем из условия равновесия большого поршня имеем для давления газа в большом сосуде \[p_1=\frac{mg}{S_2}.\] Применяя теперь к газу в широком сосуде закон Клапейрона—Менделеева, получим \[mgh_1=\nu RT \qquad (*)\] где \(h_1\) — высота поршня над дном широкого сосуда после снятия груза и установления равновесия, \(\nu\) — количество вещества газа во всем сосуде, \(T\) — температура газа. С другой стороны, закон Клапейрона—Менделеева для газа во всем сосуде до снятия груза дает \[\frac{mg}{S_1}\left(S_1h+S_2h\right)=\nu RT \qquad (**)\] Деля уравнения (*) и (**) друг на друга и учитывая соотношение площадей сечения сосудов, получим \(h_1=\dfrac{5}{2}h\).

Действие проводящей плоскости на заряд эквивалентно действию зеркального заряда \(-Q\). Какую работу нужно совершить против его поля при перемещении заряда \(Q\)?

\(q=\dfrac{kQ^2}{d}\cdot\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\).

Со стороны проводящей плоскости на точечный заряд \(Q\) действует такая же сила, как со стороны точечного заряда \(-Q\), расположенного за плоскостью на таком же расстоянии, как и точечный заряд. Или (другими словами), на плоскости индуцируются такие заряды, поле которых совпадает с полем точечного заряда, расположенного за плоскостью на таком же расстоянии от него. А поскольку по условию в процессе перемещения точечного заряда \(Q\) заряды на плоскости не успевают перераспределиться, то необходимо совершить такую же работу, как при перемещении точечного заряда \(Q\) в поле покоящегося точечного заряда \(-Q\). А она, в свою очередь, равна изменению потенциальной энергии заряда \(Q\), перемещающегося из точки на расстоянии \(2d\) от покоящегося заряда \(-Q\), в точку на расстоянии \(\sqrt{(2d)^2+(2d)^2}=\sqrt{8}\,d\) от этого заряда. Поэтому необходимо совершить работу \[A=Q\left(\frac{kQ}{2d}-\frac{kQ}{\sqrt{8}\,d}\right)=\frac{kQ^2}{d}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}\] (\(k\) — постоянная закона Кулона). После перераспределения зарядов на плоскости потенциальная энергия взаимодействия заряда и плоскости вернется к первоначальному значению. Поэтому вся совершенная работа выделится в виде теплоты: \[q=\frac{kQ^2}{d}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}.\]

Для невесомого блока суммарный момент сил равен нулю; свяжите силы натяжения нити по моментам, затем кинематическую связь ускорений через длину нити.

\(a_1=\dfrac{10}{13}\,g\) (тело \(3m\) движется вниз); \(a_2=\dfrac{5}{13}\,g\) (тело \(m\) движется вверх).

Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает \[\begin{aligned} 3ma_1 &= 3mg+T_1+T_2 \\ ma_2 &= mg+T \end{aligned}\] где \(a_1\) и \(a_2\) — ускорения тел с массами \(3m\) и \(m\) соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или в проекциях на ось \(x\), направленную вертикально вниз, \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg+T_1-T_2 \\ ma_{2x} &= mg-T \end{aligned}\] Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы \(T_1\), направленные вверх, и сила \(T\), направленная вниз, то \(T=2T_1\). Верхний блок вращают силы \(T_2\) с плечом \(R/2\) и сила \(T_1\) с плечом \(R\). А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому \(T_1R=T_2R/2\), откуда \(T_2=2T_1\). В результате система уравнений принимает вид \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg-T_1 \\ ma_{2x} &= mg-2T_1 \end{aligned}\] Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело \(3m\) опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело \(3m\) спустилось на \(\Delta l\), на большой блок намотается \(2\Delta l\), веревка станет короче на \(\Delta l\), нижний блок поднимется на \(\Delta l/2\). Следовательно, если ускорение тела \(3m\) равно \(a\) и направлено вниз, ускорение тела \(m\) равно \(a/2\) и направлено вверх. И наоборот. Поэтому \[a_{2x}=-\frac{a_{1x}}{2}.\] В результате система уравнений примет вид \[\begin{aligned} 3ma_{1x} &= 3mg-T_1 \\ \frac{ma_{1x}}{2} &= 2T_1-mg \end{aligned}\] Умножая первое уравнение системы на 2 и складывая уравнения, найдем, что ускорение тела с массой \(3m\) направлено вниз и равно \[a_1=\frac{10}{13}\,g,\] а ускорение тела с массой \(m\) направлено вверх и равно \[a_2=\frac{5}{13}\,g.\]

Запишите второй закон Ньютона через \(dv/dt\) и разделите переменные: величина \(1/v\) изменяется линейно со временем.

\(T_1=4T\).

Обозначим силу сопротивления среды как \(F=\alpha v^2\). Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемого тела в проекциях на ось, направленную вдоль движения тела, дает \[\Delta v=-kv^2\,\Delta t,\] где \(k=\alpha/m\) (\(m\) — масса тела). Или \[-\frac{\Delta v}{v^2}=k\,\Delta t.\] Но величина в левой части есть приращение величины \(1/v\) (вместе со знаком), величина в правой части — приращение величины \(kt\). Поэтому приращение величины \(kt-1/v\) равно нулю, а, следовательно, сама величина в скобках есть постоянная \[kt-\frac{1}{v}=C.\] Используя это соотношение для двукратного уменьшения скорости, получим \[-\frac{1}{v}=kT-\frac{2}{v}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{1}{kv}.\] Поэтому для шестикратного (по сравнению с начальной скоростью) уменьшения скорости имеем \[kT-\frac{2}{v}=k\left(T+T_1\right)-\frac{6}{v}\quad\Rightarrow\quad T_1=\frac{4}{kv},\] где \(T_1\) — искомое время, через которое скорость тела уменьшилась еще в три раза. Отсюда получаем \[T_1=4T.\]