Росатом, 2016/17, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Если бы вольтметры были идеальными, они показали бы \(2/3\) ЭДС. Сравните показания с этим значением: что следует о сопротивлении вольтметров и о токе через средний резистор?

Ответ

\(V_2 = \dfrac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4\text{ В}\).

Решение

Очевидно, вольтметры неидеальные: в случае идеальности они должны были бы показывать \(2/3\) напряжения источника, а они показывают половину. Кроме того, из данных условия очевидно, что ток через центральное сопротивление не течёт. Действительно, поскольку вольтметры \(V_1\) и \(V_2\) показывают половину напряжения источника, потенциалы точек 2 и 3 одинаковы. Поэтому ток через центральное сопротивление не течёт, его можно выбросить, а падения напряжения на резисторах и вольтметрах одинаковы. Тогда сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов.

При выбрасывании одного вольтметра цепь принимает вид, показанный на рисунке, причём сопротивление участка 1–2 равно \(\dfrac{2R}{3}\), поскольку сопротивление вольтметра равно сопротивлению резисторов. Поэтому напряжение на участке 1–2 составляет \(2/5\) от напряжения источника и, следовательно, \[V_2 = \frac{2}{5}\,\varepsilon = 2{,}4\text{ В}.\]

Подсказка

Запишите координаты обоих тел как функции времени и условие совпадения координат. Когда квадратное уравнение имеет решение?

Ответ

\(v_{\min} = \sqrt{2al}\).

Решение

Зависимости координат тел от времени (начало координат в точке, откуда начало двигаться второе тело, ось \(x\) направлена вдоль движения тел): \[x_1(t) = l + \frac{at^2}{2}, \qquad x_2(t) = vt.\] Второе тело догонит первое, если для какого-то значения \(t\) выполнено условие \[\frac{at^2}{2} - vt + l = 0. \qquad (*)\] Квадратное уравнение \((*)\) имеет решение, если его дискриминант неотрицателен: \(v^2 \ge 2al\). Отсюда \[v_{\min} = \sqrt{2al}.\]

Подсказка

Сила натяжения нити одинакова во всех точках. Найдите растяжения пружин жёсткостью \(k\) и \(3k\), а затем длину нити, освободившейся при смещении блоков.

Ответ

\(\Delta l = \dfrac{7F}{k}\).

Решение

Сила натяжения нити, охватывающей блоки, одинакова во всех точках. Поэтому пружины с коэффициентами жёсткости \(k\) растянуты на \[\Delta x = \frac{F}{k}.\] На блоки со стороны этой нити действует сила \(2F\). Поэтому пружины с жёсткостью \(3k\) растянуты на \[\Delta x_1 = \frac{2F}{3k},\] и за счёт перемещения каждого из них освобождается кусок нити, переброшенной через блоки, длиной \(2\Delta x_1\) (с одной и другой стороны от каждого блока). Поэтому перемещение конца нити равно \[\Delta l = 3\Delta x + 6\Delta x_1 = \frac{3F}{k} + \frac{6\cdot 2F}{3k} = \frac{7F}{k}.\]

Подсказка

Запишите время, которое Мартышка бежит к голове Удава и обратно, через длину Удава \(l\) и скорости: при беге к голове расстояние сокращается на скорость Удава, при беге обратно — растёт.

Ответ

\(\dfrac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5\); \(l = 38{,}4\text{ попугая}\).

Решение

Очевидно, Мартышка пробежала до головы Удава расстояние \(\dfrac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}}\), где \(l\) — длина Удава, \(v_{\text{м}}\) — скорость Мартышки, \(v_{\text{у}}\) — скорость Удава. По условию оно равно \(48\) попугаям: \[\frac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} - v_{\text{у}}} = 48\text{ попугаев}. \qquad (*)\] Когда Мартышка побежала обратно, она пробежала от точки разворота расстояние \(\dfrac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}}\), которое по условию равно \(32\) попугаям (\(48 - 16\)): \[\frac{l\,v_{\text{м}}}{v_{\text{м}} + v_{\text{у}}} = 32\text{ попугаев}. \qquad (**)\] Решая систему уравнений \((*)\)–\((**)\), найдём \[\frac{v_{\text{м}}}{v_{\text{у}}} = 5, \qquad l = 38{,}4\text{ попугая}.\]

Подсказка

Рассмотрите три тела, связанные нитью, при нулевом ускорении куба: запишите второй закон Ньютона для каждого тела вдоль его движения. Затем из условия равновесия куба найдите силу \(F\).

Ответ

\(F = \dfrac{4mg\,(1 - 4k)}{7}\) при \(k < 0{,}25\); \(F = 0\) при \(k > 0{,}25\).

Решение

Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила реакции верхнего тела, сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, так как верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила \(F\), удерживающая куб в покое (направленная влево), и нити, перекинутые через блоки. Нити действуют на куб через блоки горизонтально (\(T_1\), \(T_2\)) и вертикально (\(T_1'\), \(T_2'\)). Условие равновесия куба даёт связь силы \(F\) с силами натяжения нитей и силой трения \(F_{\text{тр}}\) (1).

Чтобы найти силу \(F\), надо найти силы натяжения нитей и силу трения. Поэтому рассмотрим динамику трёх тел, скреплённых нитями, при нулевом ускорении куба. Меньшее тело \(m\) и большее тело \(2m\) движутся с ускорением \(a\), верхнее тело \(4m\) — тоже с ускорением \(a\) относительно куба. Второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на направления их движения: \[\begin{aligned} ma &= T_1 - mg,\\ 4ma &= T_2 - T_1 - 4km g,\\ 2ma &= 2mg - T_2. \end{aligned} \qquad (2)\] Решая систему \((2)\), находим \[a = \frac{g\,(1 - 4k)}{7}.\] Из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу \[F = 4ma = \frac{4mg\,(1 - 4k)}{7}.\] При \(k > 1/4\) тела не будут двигаться по кубу, поэтому куб будет стоять и \(F = 0\). Таким образом, \[F = \frac{4mg\,(1 - 4k)}{7}\ \text{при}\ k < 0{,}25, \qquad F = 0\ \text{при}\ k > 0{,}25.\]