Росатом, 2017/18, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Запишите закон Ома для замкнутой цепи в обоих случаях, считая сопротивление амперметра и внутреннее сопротивление источника неизвестными.

Ответ

\(I_3 = \dfrac{4I_1I_2}{7I_1 - 3I_2} = 1{,}41\) А.

Решение

Очевидно, что амперметры неидеальны. Действительно, если бы сопротивление амперметров равнялось нулю, то сумма токов через все амперметры (которая равна току через источник) определялась бы ЭДС и внутренним сопротивлением самого источника. А эта величина не меняется при подключении дополнительных амперметров. У нас же ток через источник при подключении одного амперметра и сумма токов через два амперметра — разная.

Пусть сопротивление амперметра — \(R\), сопротивление источника — \(r\). Тогда для тока через источник (или суммы токов через амперметры) из закона Ома для замкнутой цепи в первом и втором случае \[R + r = \frac{\varepsilon}{I_1}, \qquad \frac{R}{2} + r = \frac{\varepsilon}{I_2},\] где \(\varepsilon\) — ЭДС источника, \(R/2\) — общее сопротивление двух амперметров. Из этой системы уравнений находим \[R = \frac{2\varepsilon(I_2 - I_1)}{I_1 I_2}, \qquad r = \frac{\varepsilon(2I_1 - I_2)}{I_1 I_2}.\] Тогда закон Ома для замкнутой цепи в случае восьми амперметров, подключенных к источнику параллельно, дает \[\frac{\varepsilon}{I_3} = \frac{R}{8} + r = \frac{\varepsilon(I_2 - I_1)}{4I_1I_2} + \frac{\varepsilon(2I_1 - I_2)}{I_1I_2} = \frac{\varepsilon(7I_1 - 3I_2)}{4I_1I_2},\] где \(I_3\) — ток через источник (сумма токов через амперметры). Отсюда \[I_3 = \frac{4I_1I_2}{7I_1 - 3I_2} = 1{,}41~\text{А}.\]

Подсказка

Для каждого стержня, начиная с правого, запишите равенство нулю моментов сил относительно точки крепления нити к предыдущему стержню или к потолку.

Ответ

\(T = 6{,}25\) Н.

Решение

На самый правый стержень действует сила тяжести и две силы натяжения. Из симметрии задачи очевидно, что последние одинаковы. Поэтому \[T_1 = \frac{mg}{2}.\]

Из условия равенства нулю моментов сил, действующих на второй стержень относительно правой нити, получим (чтобы не загромождать рисунок, сила натяжения правой нити на рисунке не показана) \[T_2 l = mg\frac{l}{2} + \frac{mg}{2}\cdot\frac{l}{5} = \frac{mgl}{2}\left(1 + \frac{1}{5}\right).\] Отсюда находим \[T_2 = \frac{mg}{2}\left(1 + \frac{1}{5}\right).\]

Условие равенства нулю моментов сил, действующих на третий стержень (относительно его правого конца), дает \[T_3 l = mg\frac{l}{2} + T_2\frac{l}{5} = \frac{mgl}{2}\left(1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{25}\right).\] Теперь ясна и дальнейшая структура формул. Сила натяжения левой нити, привязанной к \(n\)-му стержню, определяется суммой конечной геометрической прогрессии \[T_n = \frac{mg}{2}\left(1 + \left(\frac{1}{5}\right)^1 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \dots + \left(\frac{1}{5}\right)^n\right).\] Используя формулу суммы прогрессии и учитывая, что \((1/5)^{2018}\) — чудовищно малое число, получим \[T_{2018} = \frac{mg}{2}\cdot\frac{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^{2018}}{1 - \frac{1}{5}} \approx \frac{5mg}{8} = 6{,}25~\text{Н}.\]

Подсказка

Работа равна приращению потенциальной энергии системы цилиндр + вода. На какую высоту поднимается центр масс цилиндра и насколько опускается центр масс воды?

Подсказка

Колёса вращаются с одинаковой угловой скоростью. Нарисуйте радиус-вектор второго камня относительно первого как сумму вектора между центрами колёс и вектора, поворачивающегося вместе с колёсами.

Ответ

\(r_{\min} = (3 - \sqrt{2})\,R\);  \(t_{\min} = \dfrac{5\pi R}{4v}\).

Решение

Поскольку колеса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями \(\omega\), которые определяются соотношением \[\omega = \frac{v}{R}, \qquad (1)\] где \(v\) — скорость велосипеда, \(R\) — радиус колеса. Поэтому угол между радиусами-векторами камней \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) относительно центров колес в любой момент времени составляет \(90^\circ\) (см. рисунок 1).

Радиус-вектор второго камня относительно первого \(\vec r_{21}\) можно найти из очевидного векторного равенства \[\vec r_{21} = \vec r_0 + \vec r_2 - \vec r_1, \qquad (2)\] где \(\vec r_0\) — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами \(\vec r_1\) и \(\vec r_2\) всегда равен \(90^\circ\), то вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) имеет длину \(\sqrt{2}R\) и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колес. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора \(\vec r_0\) и вектора, имеющего длину \(\sqrt{2}R\) и вращающегося с угловой скоростью (1). Сложение этих векторов показано на рисунке 2, причем концы векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\) и \(\vec r_{21}\) лежат на окружности радиуса \(\sqrt{2}R\) с центром в конце вектора \(\vec r_0\).

Из рисунка 2 следует, что минимальную длину вектор \(\vec r_{21}\) (2) имеет в тот момент времени, когда вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен противоположно вектору \(\vec r_0\), максимальную — когда вектор \(\vec r_2 - \vec r_1\) направлен так же, как и вектор \(\vec r_0\). Поэтому \[r_{21}^{\min} = 3R - \sqrt{2}R = R\left(3 - \sqrt{2}\right); \qquad r_{21}^{\max} = 3R + \sqrt{2}R = R\left(3 + \sqrt{2}\right).\] Вычитание векторов \(\vec r_2 - \vec r_1\), отвечающее этим двум случаям, показано на рисунках 3а и 3б соответственно.

Поэтому длина вектора \(\vec r_{21}\) будет минимальна, когда вектор \(\vec r_2\) повернется на угол \(5\pi/4\), а максимальна — на угол \(\pi/4\) по сравнению с начальным положением. Отсюда находим моменты времени, когда расстояние между камнями достигает минимального и максимального значения: \[t^{\min} = \frac{5\pi}{4\omega} = \frac{5\pi R}{4v}, \qquad t^{\max} = \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi R}{4v}.\]

Подсказка

Температуры тел в процессе работы меняются, так как их теплоёмкости конечны. Рассмотрите малый цикл Карно и найдите величину, которая при этом не меняется.

Ответ

\(T_{\min} = \sqrt[3]{3}\,T \approx 1{,}44\,T\);  \(A_{\max} = CT\left(5 - 3\sqrt[3]{3}\right) \approx 0{,}675\,CT\).

Решение

Обычно, когда рассматривают принципы работы тепловой машины, считают, что температуры нагревателя и холодильника в процессе отдачи или получения тепла не изменяются. Это верно для бесконечно больших теплоемкостей нагревателя и холодильника. Если же теплоемкости этих тел конечны, необходимо учитывать, что их температуры в процессе работы машины будут изменяться. Очевидно, что в конце концов температуры нагревателя и холодильника сравняются.

Пусть в какой-то момент времени температура нагревателя равна \(T_1\), холодильника — \(T_2\). Поскольку нужно найти минимальную температуру тел, необходимо «увести» из системы максимальную работу. Поэтому проведем на этих телах цикл Карно. Возьмем малое количество теплоты \(\delta Q\) у нагревателя (чтобы его температура практически не изменилась). КПД цикла Карно равен \[\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}, \qquad (1)\] тогда работа двигателя составит \(\delta A = \eta\,\delta Q = \delta Q - \dfrac{T_2}{T_1}\delta Q\) (2). Поэтому более холодному телу будет передано количество теплоты \[\delta Q_1 = \delta Q - \delta A = \frac{T_2}{T_1}\delta Q. \qquad (3)\] Таким образом, тепловой баланс в системе тел с учетом «ухода» механической работы выглядит так: если горячее тело отдает количество теплоты \(\delta Q\), холодное получает количество теплоты \(\delta Q_1\) (3).

Найдем теперь, как изменятся температуры тел после осуществления рассмотренного процесса. Так как нагреватель отдает количество теплоты \(\delta Q\), его температура уменьшится на величину \(\delta Q / C\) (\(C\) — теплоемкость нагревателя) и составит \[T_1' = T_1 - \frac{\delta Q}{C}. \qquad (4)\] Температура холодильника возрастет на величину \(\delta Q_1 / 2C\) (\(2C\) — теплоемкость холодильника) и составит \[T_2' = T_2 + \frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{\delta Q}{2C}. \qquad (5)\] Возводя уравнение (5) в квадрат и учитывая, что \(\delta Q\) — малая величина, и потому слагаемое, содержащее \(\delta Q^2\), является малым и им можно пренебречь, получим \[\left(T_2'\right)^2 \approx T_2^2 + \frac{T_2^2}{T_1}\cdot\frac{\delta Q}{C}. \qquad (6)\] Перемножим теперь почленно формулы (4) и (6). Имеем \[T_1'\left(T_2'\right)^2 \approx T_1 T_2^2. \qquad (7)\] Равенство (7) означает, что в рассмотренном процессе не меняется произведение температуры нагревателя на квадрат температуры холодильника. А поскольку этот результат будет иметь место при любых температурах тел, то он будет иметь место и для конечной температуры нагревателя и холодильника \(T_x\): \[3T\cdot T^2 = T_x\cdot T_x^2 = T_x^3 \quad\Rightarrow\quad T_x = \sqrt[3]{3}\,T \approx 1{,}442\,T. \qquad (8)\] Таким образом, в результате работы рассмотренной тепловой машины в течение длительного времени температуры нагревателя и холодильника сравняются и станут равными величине (8).

Если бы энергия не уходила из системы, то в результате теплообмена между нагревателем и холодильником их температуры также сравнялись бы, но установившаяся температура была бы больше величины (8). Установившуюся в этом случае температуру тел \(T_y\) можно найти из «обычного» уравнения теплового баланса: \[C\left(3T - T_y\right) = 2C\left(T_y - T\right). \qquad (9)\] Из формулы (9) получаем \[T_y = \frac{5}{3}T \approx 1{,}667\,T. \qquad (10)\] Энергия, связанная с разностью установившихся температур \(T_y - T_x\), и есть полная механическая работа, совершенная двигателем до того момента, как температуры нагревателя и холодильника сравняются. Поскольку суммарная теплоемкость тел равна \(3C\), эта работа равна \[A = 3C\left(T_y - T_x\right) = CT\left(5 - 3\sqrt[3]{3}\right) = 0{,}675\,CT.\]