Росатом, 2018/19, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна произведению \(pV\). Найдите, как изменяется это произведение при заданном процессе.

Ответ

Внутренняя энергия уменьшится в \(n^2 = 9\) раз.

Решение

Пусть начальные объём и давление газа равны \(V_1\) и \(p_1\). Тогда начальная внутренняя энергия газа равна \[U_1 = \alpha\nu RT_1 = \alpha p_1V_1 ,\] где \(\alpha\) — числовой коэффициент, зависящий от атомности молекул газа (\(3/2\) для одноатомного газа и т.д.). Конечное давление газа находим из уравнения процесса: \[p_2V_2^3 = p_1V_1^3 \quad\Rightarrow\quad p_2 = \frac{p_1}{n^3} .\] Поэтому конечная внутренняя энергия газа равна \[U_2 = \alpha\nu RT_2 = \alpha p_2V_2 = \alpha\,\frac{p_1}{n^3}\,nV_1 = \frac{1}{n^2}\,\alpha p_1V_1 .\] Отсюда заключаем, что внутренняя энергия газа в рассматриваемом процессе уменьшилась в \(n^2 = 9\) раз.

Подсказка

До удара пробирка покоится, и шарик проходит её длину со скоростью \(v\). После упругого удара проверьте, как распределяются скорости между шариком и пробиркой, и найдите их относительную скорость.

Ответ

\(t = \dfrac{2l}{v}\).

Решение

Шарик долетит до дна пробирки за время \[t_1 = \frac{l}{v} .\] Далее используем законы сохранения импульса и энергии в момент удара: \[mv = -mv_1 + 5mv_2, \qquad \frac{mv^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{5mv_2^2}{2} .\] Решая эту систему относительно \(v_1\) и \(v_2\), получим \[v_1 = \frac{2v}{3}, \qquad v_2 = \frac{v}{3} .\] Учитывая, что скорости шарика и пробирки направлены противоположно, находим относительную скорость шарика относительно пробирки \[v_{\text{отн}} = v_1 + v_2 = v .\] А это значит, что шарик вылетит из пробирки за такое же время. Поэтому шарик вылетит из пробирки через время \[t = \frac{2l}{v} .\] От масс шарика и пробирки это время не зависит. В эту формулу укладываются и два предельных случая. Если масса пробирки много больше массы шарика, пробирка после удара будет стоять, а шарик двигаться с той же скоростью и проведёт в пробирке время \(2l/v\). Если соотношение масс обратное, шарик при ударе не изменит скорость, а пробирка будет двигаться со скоростью \(2v\), и, следовательно, шарик проведёт в пробирке время \(2l/v\).

Подсказка

Для установившегося движения сила сопротивления парашюта уравновешивает суммарный вес оставшихся тел. Запишите это условие для трёх случаев.

Ответ

\(v_3 = \sqrt{2v_2^2 - v_1^2}\) (при этом \(v_1 < \sqrt{2}\,v_2\)).

Решение

Для установившейся скорости падения в первом и втором случае имеем \[kv_1^2 = Nmg, \qquad kv_2^2 = (N-1)mg, \qquad kv_3^2 = (N-2)mg ,\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности силы сопротивления воздуха и скорости, \(N\) — количество тел, \(m\) — масса одного тела, \(v_3\) — искомая скорость. Вычитая второе уравнение из первого, получим для \(k\) \[k = \frac{mg}{v_1^2 - v_2^2} .\] А, вычитая третье из второго, найдём \[kv_2^2 - kv_3^2 = mg \quad\Rightarrow\quad v_3^2 = v_2^2 - \frac{mg}{k} = v_2^2 - \bigl(v_1^2 - v_2^2\bigr) = 2v_2^2 - v_1^2 .\] Или \[v_3 = \sqrt{2v_2^2 - v_1^2} .\] При этом для данных скоростей должно быть выполнено условие \(v_1 < \sqrt{2}\,v_2\).

Подсказка

Сравните объём воды, вытесняемый системой «лёд с телом» до таяния, с объёмом, который занимает тело после таяния льда, при том что тело утонуло.

Ответ

Уровень воды понизится на \(\Delta h = \dfrac{m(\rho - \rho_0)}{S\rho_0\rho}\).

Решение

Пусть масса льда \(M\). Тогда условие плавания льда с телом в воде даёт \[(m + M)g = \rho_0 g V_1 ,\] где \(V_1\) — объём погружённой в воду части льда. Или, другими словами, объём вытесненной воды в начальном состоянии равен \[V_1 = \frac{m}{\rho_0} + \frac{M}{\rho_0} .\] После того, как лёд растаял, в сосуде появилось дополнительное количество воды массой \(M\) и, следовательно, объёмом \[V_2 = \frac{M}{\rho_0} .\] Но вытеснен объём воды, равный объёму тела (тело имеет плотность, большую плотности воды, поэтому оно утонуло).

Очевидно, если величина \(V_{\text{тела}} + V_2\) больше объёма вытесненной в первом случае воды, уровень воды в сосуде повысится. Если меньше — понизится, если равен — не изменится. Поэтому сравним эти объёмы: \[V_{\text{тела}} + V_2 \;\lessgtr\; V_1 .\] С помощью формул для \(V_1\) и \(V_2\) сравнение приводится к виду \[V_{\text{тела}} \;\lessgtr\; \frac{m}{\rho_0} .\] В этом неравенстве левая часть, очевидно, меньше правой, поскольку плотность тела есть \(m/\rho\), а плотность тела больше плотности воды. Следовательно, в конечном состоянии вытесняется объём воды, меньший на величину \[\Delta V = \frac{m}{\rho_0} - V_{\text{тела}} = \frac{m}{\rho_0} - \frac{m}{\rho} = \frac{m(\rho - \rho_0)}{\rho_0\rho} .\] Этот объём распределяется равномерно по всему сосуду, поэтому уровень воды опустится на величину \[\Delta h = \frac{\Delta V}{S} = \frac{m(\rho - \rho_0)}{S\rho_0\rho} .\]

Подсказка

Нить натянута отталкиванием бусинок и образует треугольник с вершинами в их положениях. Выпишите условие равновесия каждой бусинки: силы отталкивания уравновешиваются натяжением нити.

Ответ

\(T = \dfrac{k q^2\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\right)^2}{l^2}\), где \(k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\).

Решение

Благодаря кулоновскому отталкиванию бусинки натянут нить и расположатся в вершинах треугольника. Поскольку заряды бусинок разные по величине, положение равновесия бусинок будет достигаться при различных расстояниях между ними. Поэтому треугольник, в который растянется нить, будет неправильным (см. рисунок).

Рассмотрим условия равновесия бусинки с зарядом \(q\). На неё действуют силы отталкивания от зарядов \(2q\) и \(3q\) (силы \(\vec F_{12}\) и \(\vec F_{13}\) соответственно). Кроме того, на бусинку действует сила со стороны нити, которая равна сумме сил натяжения нити \(\vec T\) и \(\vec T'\) в тех точках, где пропадает контакт между нитью и бусинкой (по аналогии с силой, действующей на блок со стороны переброшенной через него нити). Эти силы, действующие на бусинку с зарядом \(q\), показаны на рисунке. Условие равновесия бусинки имеет вид \[\vec F_{12} + \vec F_{13} + \vec T + \vec T' = 0 .\]

Очевидно, силы \(\vec F_{12}\) и \(\vec T'\) направлены вдоль одной и той же прямой (соединяющей заряды \(q\) и \(2q\)), силы \(\vec F_{13}\) и \(\vec T\) — также вдоль одной и той же, но другой по сравнению с первой, прямой (соединяющей заряды \(q\) и \(3q\)). Поэтому, проецируя уравнение на оси, перпендикулярные сначала одной, а затем другой прямой, получим \[\left|\vec F_{12}\right| = \left|\vec T'\right| , \qquad \left|\vec F_{13}\right| = \left|\vec T\right| .\] А поскольку величины сил натяжения участков нити между зарядами \(q\) и \(2q\), а также между зарядами \(q\) и \(3q\) одинаковы (это одна и та же нить), из этих соотношений заключаем, что \(F_{12} = F_{13}\). Аналогично доказываем, что \(F_{12} = F_{23}\). Таким образом, в равновесии бусинки занимают такое положение на нити, что силы их взаимодействия одинаковы (и равны силе натяжения нити). Поэтому с использованием закона Кулона получаем \[F_{12} = T = \frac{2kq^2}{l_{12}^2}, \qquad F_{13} = T = \frac{3kq^2}{l_{13}^2}, \qquad F_{23} = T = \frac{6kq^2}{l_{23}^2},\] где \(k = (4\pi\varepsilon_0)^{-1}\) — постоянная в законе Кулона, \(l_{12}\), \(l_{13}\) и \(l_{23}\) — расстояния между бусинками \(q\) и \(2q\), \(q\) и \(3q\), \(2q\) и \(3q\). Выражая из этих формул величины \(l_{12}\), \(l_{13}\) и \(l_{23}\) и учитывая, что их сумма равна длине нити, получим \[l = \sqrt{\frac{2kq^2}{T}} + \sqrt{\frac{3kq^2}{T}} + \sqrt{\frac{6kq^2}{T}} = \sqrt{\frac{kq^2}{T}}\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\right) .\] Из этой формулы находим \[T = \frac{kq^2\left(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{6}\right)^2}{l^2} .\]