Росатом, 2019/20, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Удлинение каждой пружины определяется силой, которую она держит. Сколько тел висит на каждой пружине в исходной и в переставленной системе?

Ответ

\(\Delta L_1=\dfrac{6}{11}\,\Delta L\).

Решение

Высота опускания нижнего тела равна сумме удлинений пружин. При этом нижняя пружина растягивается нижним телом \(2m\), верхняя — обоими телами \(2m+m=3m\). Отсюда находим высоту опускания нижнего тела \[\Delta L = \frac{3mg}{k} + \frac{2mg}{3k} = \frac{11\,mg}{3k} .\] Если поменять местами и пружины, и тела, то вместо этой формулы получим \[\Delta L_1 = \frac{3mg}{3k} + \frac{mg}{k} = \frac{2mg}{k} = \frac{6}{11}\,\Delta L .\]

Подсказка

Мощность плиты постоянна, поэтому времена нагрева пропорциональны количествам тепла. Запишите баланс тепла для первоначальной воды и для долитой воды.

Ответ

\(T_0=16^\circ\)C.

Решение

Пусть масса воды в кастрюле равна \(m\). Уравнение теплового баланса для нагревания воды от температуры водопровода до температуры кипения дает \[P\,t = c\,m\,(T_к-T_0) \qquad (*)\] где \(P\) — мощность нагревателей плиты, \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(T_0\) — температура водопроводной воды, \(T_к\) — температура кипения (поскольку входит разность температур, температуры можно задавать в градусах Цельсия).

Уравнение теплового баланса для доливания дополнительной водопроводной воды в кастрюлю дает (поскольку дополнительная вода нагрелась от температуры водопровода до температуры на \(\Delta T\) меньшей температуры кипения) \[c\,m_1\,(T_к-\Delta T-T_0) = c\,m\,\Delta T ,\] где \(m_1\) — масса дополнительной воды. Отсюда находим \[m_1 = \frac{m\,\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0} \qquad (**)\]

Уравнение теплового баланса для нагревания воды массой \(m+m_1\) от температуры, меньшей на \(\Delta T\) температуры кипения, до температуры кипения дает \[P\,t_1 = c\,(m+m_1)\,\Delta T .\] Находя из формулы (**) массу \(m+m_1\), \[m+m_1 = m\left(1+\frac{\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0}\right) = m\,\frac{T_к-T_0}{T_к-\Delta T-T_0} ,\] получим для нагревания воды массой \(m+m_1\) \[P\,t_1 = \frac{c\,m\,(T_к-T)\,\Delta T}{T_к-\Delta T-T_0} \qquad (***)\]

Деля теперь уравнение (*) на уравнение (***), найдем \[T_0 = T_к - \frac{t+t_1}{t_1}\,\Delta T = 16^\circ\text{C} .\]

Подсказка

Для каждого положения запишите условие равновесия кубика с учетом силы Архимеда и внешней силы; глубины погружения удобно выразить через долю ребра куба.

Ответ

\(\rho=\dfrac{\rho_0}{4}\) (при \(\rho_0=1000\) кг/м\(^3\) это \(250\) кг/м\(^3\)).

Решение

Пусть свободно плавающий кубик погружается в воду на глубину \(h\). Тогда условие равновесия кубика дает \[\rho\,g\,a^3 = \rho_0\,g\,a^2 h \qquad (*)\] где \(\rho\) — плотность вещества кубика, \(a\) — длина его ребра. Отсюда находим отношение плотностей кубика и воды \[\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{h}{a} .\] Когда на плавающий кубик действует «утапливающая» сила \(F\), условие равновесия дает \[\rho\,g\,a^3 + F = \rho_0\,g\,V_{п.ч.} ,\] где \(V_{п.ч.}\) — объем погруженной части кубика. Поскольку \(V_{п.ч.}=a^2(h+\Delta h)\), где \(\Delta h\) — глубина «притопления» кубика силой \(F\) дополнительно к его погружению за счет силы тяжести. Отсюда с учетом (*) получаем \[F = \rho_0\,g\,a^2\,\Delta h .\] Поэтому для равновесных положений кубика, данных в задаче, имеем \[F = \rho_0\,g\,a^2\left(\frac{a}{2}-h\right) = \rho_0\,g\,a^3\left(\frac{1}{2}-\frac{h}{a}\right) ,\] \[3F = \rho_0\,g\,a^2\,(a-h) = \rho_0\,g\,a^3\left(1-\frac{h}{a}\right) . \qquad (***)\] Деля уравнения (***) друг на друга, получаем \[\frac{2}{3} = \frac{1-2x}{1-x} ,\] где \(x=h/a\). Отсюда находим \[x = \frac{1}{4} .\] А затем из формулы для отношения плотностей \[\rho = \frac{\rho_0}{4} = 250~\text{кг/м}^3 .\]

Подсказка

Условие нерастяжимости: проекции скоростей концов стержня (сторон треугольника) на сторону должны быть одинаковы. Примените его к сторонам AC и BC.

Ответ

\(v_C=\sqrt{7}\,v\).

Решение

При движении жесткого стержня справедливо условие нерастяжимости стержня — проекции скорости его концов на стержень одинаковы. Используем это условие для сторон треугольника AC и BC.

Пусть \(v_1\) — скорость вершины C, и угол между вектором \(\vec v_1\) и стороной BC — \(\alpha\). Тогда из условия нерастяжимости сторон AC и BC получим \[v\cos 30^\circ = v_1\cos(\alpha+60^\circ) , \qquad 3v\cos 30^\circ = v_1\cos\alpha .\]

Деля уравнения друг на друга и используя формулу сложения косинуса, найдем \[\frac{1}{3} = \frac{\cos\alpha\cos 60^\circ - \sin\alpha\sin 60^\circ}{\cos\alpha} .\] Отсюда \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{3\cos 60^\circ-1}{3\sin 60^\circ} = \frac{1}{3\sqrt{3}} .\] Поэтому \[\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\alpha}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} .\] И из второго уравнения системы находим \[v_1 = \frac{3v\cos 30^\circ}{\cos\alpha} = \sqrt{7}\,v .\]

Подсказка

Треугольник с тремя выводами без активных элементов эквивалентен «звезде» из трех сопротивлений; найдите их из двух данных измерений. Затем используйте симметрию цепи.

Ответ

\(X=\dfrac{R\,(8r-3R)}{2\,(4r+R)}\).

Решение

Поскольку треугольник содержит три вывода, но не содержит активных элементов, он эквивалентен некоторой «звезде» из трех сопротивлений (см. рисунок). Сопротивления \(r_1\) и \(r_2\) найдем из данных условия \[r_1 + r_2 = r , \qquad 2r_1 = R .\] Отсюда \[r_1 = \frac{R}{2} , \qquad r_2 = r - \frac{R}{2} .\] (отметим, что для данных условия должно быть выполнено неравенство \(2r>R\)).

Теперь возвращаемся к данной в условии цепи. Поскольку она симметрична относительно прямой AB, ток по перемычке, связывающей левый нижний и правый верхний квадраты, не течет, и ее можно удалить из цепи. Более того, если сделать разрезы вдоль диагоналей квадратов так, как показано на рисунке, сохранив только соединение образовавшихся треугольников в вершинах (см. рисунок), сопротивление цепи не изменится, поскольку в первоначальной цепи токи нигде не будут пересекать эти диагонали.

Ну а поскольку каждый треугольник эквивалентен «звезде», то данную цепь можно представить в виде

Соединяя теперь точки, имеющие одинаковый потенциал, видим, что данная цепь эквивалентна следующей цепи

Находя ее сопротивление, получим для сопротивления данной цепи \[X = r_1 + \frac{r_1\,(2r_2+r_1)}{2r_2+3r_1} = \frac{r_1\,(4r_2+r_1)}{2r_2+3r_1} .\] Подставляя \(r_1\) и \(r_2\), получаем окончательно для сопротивления данной цепи \[X = \frac{R\,(8r-3R)}{2\,(4r+R)} .\]