Росатом, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Пока диод закрыт, ток в цепи не течёт. Найдите напряжение на входе, при котором диод открывается, и затем запишите условие для напряжений на резисторах.

Ответ

\(U_V = U\) при \(U < U_0\);  \(U_V = \dfrac{2}{3}U + \dfrac{1}{3}U_0\) при \(U > U_0\); при \(U = -5U_0\) показание \(U_V = -5U_0\), при \(U = 5U_0\) показание \(U_V = \dfrac{11}{3}U_0\).

Решение

Будем считать приложенное к цепи напряжение положительным, если потенциал левой входной клеммы цепи (см. рисунок в условии задачи) выше потенциала правой, и отрицательным в противоположном случае. При отрицательном напряжении ток через источник не течёт, поскольку диод закрыт, а вольтметр идеален. Поэтому вольтметр показывает напряжение источника: \(U_V = U\).

Если к входу цепи приложено отрицательное напряжение, величиной меньше \(U_0\), диод по-прежнему закрыт, ток через источник не течёт, и вольтметр показывает напряжение источника \(U\). Как только напряжение источника \(U\) станет большим положительного значения \(U_0\), диод открывается и пропускает через себя такой ток \(I\), при котором сумма падений напряжения на резисторах равняется \(U - U_0\): \[3IR = U - U_0.\] Отсюда находим ток в цепи: \[I = \frac{U - U_0}{3R}.\] При этом вольтметр показывает напряжение на диоде (\(U_0\)) и на резисторе \(2R\), т.е. \[U_V = U_0 + 2RI = \frac{2}{3}U + \frac{1}{3}U_0.\] Таким образом, \[U_V = \begin{cases} U, & U < U_0, \\[2pt] \dfrac{2}{3}U + \dfrac{1}{3}U_0, & U > U_0. \end{cases}\] График зависимости \(U_V(U)\) построен по этим формулам (см. рисунок). При напряжении источника \(U = -5U_0\) показания вольтметра \(U_V = U = -5U_0\), а при \(U = 5U_0\) показания вольтметра \(U_V = \dfrac{11}{3}U_0\).

Подсказка

Рассмотрите два варианта: в горизонтальном положении обе пружины растянуты или обе сжаты. При повороте рамки изменение деформации одной пружины равно изменению деформации другой.

Ответ

\(m = \dfrac{3F}{g}\) или \(m = \dfrac{3F}{2g}\).

Решение

Условию задачи не противоречат два положения — когда в горизонтальном положении пружины растянуты или сжаты.

Рассмотрим первый случай: в горизонтальном положении пружины растянуты. Тогда, поскольку при перевороте рамки в вертикальное положение растяжение нижней пружины должно уменьшиться, а верхней — увеличиться, то именно нижняя пружина будет недеформирована, а груз будет удерживать верхняя пружина. Поскольку величина укорочения нижней пружины равна величине удлинения верхней (при перевороте рамки), то со стороны нижней пружины пропадает сила \(F\) (эта пружина станет недеформированной), а со стороны верхней добавляется сила \(2F\). Отсюда заключаем, что \[m = \frac{3F}{g}.\]

Второй случай: в горизонтальном положении обе пружины сжаты. Тогда в вертикальном положении недеформированной будет верхняя пружина, а силу тяжести компенсировать нижняя. При этом, поскольку при перевороте рамки дополнительное удлинение верхней пружины равно дополнительному укорочению нижней, к силе упругости нижней пружины \(F\) за счёт её дополнительной деформации добавится сила \(F/2\) (поскольку коэффициент жёсткости нижней пружины вдвое меньше). Поэтому \[m = \frac{3F}{2g}.\]

Таким образом, масса тела может принимать два значения: \[m_1 = \frac{3F}{g} \quad\text{и}\quad m_2 = \frac{3F}{2g}.\]

Подсказка

Запишите второй закон Ньютона для каждого тела, а затем выразите связь ускорений через перемещения верёвки и блока.

Ответ

\(a_m = \dfrac{8}{5}g\),  \(a_{2m} = \dfrac{2}{5}g\),  \(a_{3m} = \dfrac{4}{5}g\) (все тела движутся вниз).

Решение

На каждое тело действуют сила тяжести и сила натяжения верёвки. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, даёт \[\begin{cases} ma_1 = T + mg, \\ 2ma_2 = 2mg - 2T, \\ 3ma_3 = 3mg - T. \end{cases}\] Здесь \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) — ускорения тел массой \(m\), \(2m\) и \(3m\) соответственно, \(T\) — сила натяжения верёвки, привязанной к телам массой \(m\) и \(3m\), \(2T\) — сила натяжения верёвки, привязанной к телу \(2m\). Умножая первое уравнение на 2 и складывая его со вторым, а последнее уравнение на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим уравнения, в которые не входит сила натяжения верёвки: \[a_1 + a_2 = 2g, \qquad 3a_3 - a_2 = 2g.\] Получим уравнение связи ускорений. Если тело \(m\) совершило перемещение \(\Delta x_1\), а тело \(2m\) — перемещение \(\Delta x_2\), направленное вниз, то слева от неподвижного блока потребуется кусок верёвки длиной \(2\Delta x_2\) и освободится кусок верёвки длиной \(\Delta x_1\). Поэтому тело \(3m\) совершит перемещение \(\Delta x_1 - 2\Delta x_2\), направленное вертикально вниз. А это значит, что \[a_3 = a_1 - 2a_2.\] Решая систему уравнений, получим \[a_1 = \frac{8}{5}g, \qquad a_2 = \frac{2}{5}g, \qquad a_3 = \frac{4}{5}g.\] Все ускорения получились положительными, что означает, что направления ускорений были выбраны верными — все тела движутся вниз.

Подсказка

Определите, на каких участках цикла газ получает тепло от нагревателя, а на каких отдаёт холодильнику. Сравните работу за цикл для треугольников с общей высотой и разными основаниями.

Ответ

\(\eta_{1431} = \dfrac{4\eta}{5 - \eta}\).

Решение

Поскольку все участки процессов — растущие прямые, на каждом из них газ контактирует либо только с нагревателем (и получает положительное тепло), либо только с холодильником (и отдаёт положительное тепло). Очевидно, что в процессе 1–2–3–1 контакт с нагревателем имеет место в процессах 1–2 и 2–3, контакт с холодильником — в процессе 3–1. Поэтому \[\eta = \eta_{1231} = \frac{A_{1-2-3-1}}{Q_{1-2-3}},\] где \(A_{1-2-3-1}\) — работа газа за цикл 1–2–3–1, \(Q_{1-2-3}\) — количество теплоты, полученное газом в процессе 1–2–3. Эту же формулу можно переписать через количество теплоты, отданное холодильнику. Поскольку \(A_{1-2-3-1} = Q_{1-2-3} - Q_{3-1}\), где \(Q_{3-1}\) — количество теплоты, переданное холодильнику в процессе 3–1, то \[\eta_{1231} = \frac{A_{1-2-3-1}}{A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{1}{1 + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}.\]

Так как треугольники 123 и 143 имеют одинаковую высоту, а основание треугольника 143 составляет \(4/5\) от основания треугольника 123, то площадь треугольника 143 составляет \(4/5\) от площади треугольника 123. Поэтому работа газа в цикле 1–4–3–1 составляет \(4/5\) от работы газа в цикле 1–2–3–1: \[A_{1-4-3-1} = \frac{4}{5}\,A_{1-2-3-1}.\] А поскольку в циклах 1–2–3–1 и 1–4–3–1 одинаковый участок, где происходит контакт с холодильником, то количество теплоты, переданное в них холодильнику, одинаковое. Поэтому для КПД цикла 1–4–3–1 имеем \[\eta_{1431} = \frac{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1}}{\frac{4}{5}A_{1-2-3-1} + Q_{3-1}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{5} + Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}}.\] Выражая отношение \(Q_{3-1}/A_{1-2-3-1}\) из формулы для \(\eta_{1231}\) и подставляя его, получим \[\eta_{1431} = \frac{4\eta_{1231}}{5 - \eta_{1231}} = \frac{4\eta}{5 - \eta}.\]

Подсказка

Запишите условие нерастяжимости нити для всех участков, привязанных к бусинке, и разложите скорость бусинки по направлениям этих участков.

Ответ

\(a = g\sin x\), где \(\operatorname{tg}x = \dfrac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{1 + \sin\alpha + \sin3\alpha}\); то же самое: \(a = g\,\dfrac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{\sqrt{3 + 2\sin\alpha + 2\sin3\alpha + 2\cos2\alpha}}\).

Решение

Найдём, как движется бусинка. Пусть скорость бусинки \(v\) и направлена она так, как показано на рисунке. Тогда, поскольку нить нерастяжима, сумма проекций скорости бусинки на направления всех ниток, которые к ней привязаны, должна быть равна нулю. Поэтому, если скорость бусинки направлена под углом \(x\) к горизонтали, то \[v\cos(x + \alpha) + v\cos(x + 3\alpha) + v\cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = 0,\] где \(v\) — скорость бусинки. Отсюда \[\cos(x + \alpha) + \cos(x + 3\alpha) = \sin x.\] Используя формулы сложения тригонометрических функций, получим \[\operatorname{tg}x = \frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{1 + \sin\alpha + \sin3\alpha}.\] Это равенство определяет направление движения бусинки в первый момент времени, причём угол \(x\) острый, поскольку все тригонометрические функции в нём положительны.

Очевидно, ускорение бусинки определяется проекцией ускорения свободного падения на направление движения бусинки, а силы натяжения нити не оказывают никакого влияния на это ускорение. Действительно, во второй закон Ньютона в проекции на направление движения бусинки войдёт сумма \[T\cos(x + \alpha) + T\cos(x + 3\alpha) + T\cos\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right),\] где \(T\) — сила натяжения нити, которая равна нулю в соответствии с предыдущим равенством. Поэтому ускорение бусинки есть \[a = g\sin x,\] где \(x = \operatorname{arctg}\dfrac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{1 + \sin\alpha + \sin3\alpha}\). Выражая синус через тангенс, можно получить ещё одно выражение для ответа: \[a = g\,\frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{\sqrt{\left(1 + \sin\alpha + \sin3\alpha\right)^2 + \left(\cos\alpha + \cos3\alpha\right)^2}} = g\,\frac{\cos\alpha + \cos3\alpha}{\sqrt{3 + 2\sin\alpha + 2\sin3\alpha + 2\cos2\alpha}}.\]