Росатом, 2019/20, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Работа силы тяжести при всех подъёмах и спусках определяется только высотой, на которую тело опустилось в итоге. Примените теорему об изменении кинетической энергии.

Ответ

\(S = 2l\).

Решение

Поскольку \(k < \operatorname{tg}\alpha\), тело будет скользить по плоскости и окончательно остановится только около стенки. При этом, несмотря на подъёмы и спуски по плоскости, работа силы тяжести будет равна убыли потенциальной энергии тела, т.е. \(A_m = mgl\sin\alpha\). Из теоремы об изменении кинетической энергии заключаем, что эта работа равна минус работе силы трения, которая определяется пройденным телом путём: \(A_{тр} = -F_{тр}S = -kmg\cos\alpha\,S\). Отсюда заключаем, что пройденный телом путь есть \[S = \frac{1}{k}\,l\,\operatorname{tg}\alpha = 2l.\]

Подсказка

Запишите первый закон термодинамики для малого изменения состояния, выразив работу через давление и изменение объёма. Давление найдите из уравнения состояния.

Ответ

\(C = -R\); при возрастании объёма газ получает теплоту.

Решение

Пусть газ получает в рассматриваемом процессе малое количество теплоты \(\delta Q\), а изменение температуры газа составило \(\Delta T\) (обе эти величины являются алгебраическими, могут быть как положительными, так и отрицательными). Первый закон термодинамики для рассматриваемого процесса даёт \[\delta Q = \Delta U + \delta A.\] Поскольку в рассматриваемом процессе давление практически не изменилось, работу газа можно найти как \(\delta A = p\,\Delta V\), где \(\Delta V\) — изменение объёма в рассматриваемом процессе, \(p\) — давление в рассматриваемом состоянии. Поэтому \[\delta Q = \frac{3}{2}\nu R\,\Delta T + p\,\Delta V.\] Изменение объёма газа \(\Delta V\) можно найти из зависимости \(V(T)\), давление газа \(p\) — из закона Клапейрона–Менделеева: \[\Delta V = \frac{dV}{dT}\,\Delta T = -\frac{5}{2}\,\alpha\,T^{-(7/2)}\,\Delta T, \qquad p = \frac{\nu R T}{V}.\] Поэтому получаем связь количества теплоты и изменения температуры в рассматриваемом процессе: \[\delta Q = -\nu R\,\Delta T.\] И, следовательно, молярная теплоёмкость \[C = \frac{\delta Q}{\nu\,\Delta T} = -R\] (от \(\alpha\) молярная теплоёмкость не зависит). Теплоёмкость газа оказалась отрицательной, что означает, что процесс лежит «между» изотермой и адиабатой. Если объём газа возрастает, то, как следует из связи давления и температуры, температура газа уменьшается, \(\Delta T < 0\), и, следовательно, газ получает теплоту.

Подсказка

Разбейте одну из нитей и заряженную плоскость на полоски и сложите силы взаимодействия. Подумайте, зависит ли результат от расстояния \(r\).

Ответ

\(F = \dfrac{2\lambda^2}{2\varepsilon_0}\); сила не зависит от расстояния \(r\) между нитями.

Решение

Рассмотрим вспомогательную задачу. Найдём силу взаимодействия очень длинной нити с линейной плотностью заряда \(\lambda\) и очень большой плоскости с поверхностной плотностью заряда \(\sigma\). С одной стороны (поскольку сила взаимодействия плоскости с поверхностной плотностью \(\sigma\) и точечного заряда \(q\) есть \(\sigma q/2\varepsilon_0\)), эта сила равна \[F = \frac{\sigma\lambda l}{2\varepsilon_0},\] где \(l\) — длина нити. С другой стороны, если мысленно разбить плоскость на длинные полоски толщиной \(\Delta x_1, \Delta x_2, \dots\), перпендикулярные нити (см. рисунок), то эта же сила складывается из сил взаимодействия с каждой полоской: \[F = \Delta F_1 + \Delta F_2 + \Delta F_3 + \dots\] Причём в этой формуле суммируются не векторы, а модули, поскольку силы взаимодействия нити с каждой полоской направлены одинаково (отталкивание от полосок). А поскольку полоски и нить — очень-очень большие, то все полоски по отношению к нити расположены одинаково, и, следовательно, силы взаимодействия с разными полосками \(\Delta F_1, \Delta F_2, \dots\) могут отличаться только из-за разных зарядов полосок. А поскольку их заряды пропорциональны их толщине (при условии, что полоски — тонкие), то все эти силы можно записать как \[\Delta F_i = f_0\,\Delta x_i,\] где величина \(f_0\) одинакова для каждой полоски. Подставляя это выражение в формулу для силы взаимодействия и используя первое выражение для неё, найдём \[\frac{\sigma\lambda l}{2\varepsilon_0} = f_0\,(\Delta x_1 + \Delta x_2 + \dots) = f_0\,l.\] Отсюда \[f_0 = \frac{\sigma\lambda}{2\varepsilon_0}.\] Поэтому сила взаимодействия нити с линейной плотностью заряда \(\lambda\) с полоской толщиной \(\Delta x\) равна \[\Delta F = \frac{\lambda\sigma\,\Delta x}{2\varepsilon_0}.\] Но поскольку полоска тонкая, а \(\sigma\Delta x\) есть заряд единицы длины полоски, то линейная плотность заряда полоски есть \(\lambda_1 = \sigma\Delta x\). Поэтому эта формула даёт силу взаимодействия двух перпендикулярных нитей, равномерно заряженных с линейными плотностями \(\lambda\) и \(\lambda_1\): \[F = \frac{\lambda\lambda_1}{2\varepsilon_0}.\] Поскольку в рассматриваемой задаче \(\lambda_1 = 2\lambda\), получаем окончательно \[F = \frac{2\lambda^2}{2\varepsilon_0}.\] От расстояния между нитями эта сила не зависит.

Подсказка

Покажите, что относительная скорость тела и тележки после каждого упругого столкновения по величине не меняется. Затем используйте закон сохранения импульса для системы «тележка–тело».

Ответ

\(S = \dfrac{2020\,mL}{m+M}\).

Решение

Докажем, что при лобовом упругом столкновении тел их относительная скорость не меняется по величине, а меняет только направление. Пусть одно тело массой \(m\) движется со скоростью \(v\), второе массой \(M\) покоится (относительная скорость первого тела относительно второго равна \(v_{отн} = v\) и направлена вправо; см. рисунок). Скорости тел после центрального упругого столкновения можно найти по законам сохранения импульса и энергии (пусть для определённости \(m < M\), тогда скорость первого тела направлена противоположно скорости \(\vec v\)): \[mv = -mv_1 + Mv_2, \qquad mv^2 = mv_1^2 + Mv_2^2.\] Отсюда находим скорости тел после столкновения \[v_1 = \frac{M - m}{M + m}\,v, \qquad v_2 = \frac{2m}{M + m}\,v\] и относительную скорость первого тела относительно второго \[v_{отн} = v_1 - v_2 = v.\] Отсюда с учётом того, что \(v_1\) поменяла направление, заключаем, что относительная скорость такая же по величине, но направлена противоположно. При следующем столкновении с бортиками тележки такая же картина сохранится.

Теперь вернёмся к решению задачи. Поскольку система тел «тележка–тело» замкнута, центр масс тела и тележки движется с постоянной скоростью \[v_0 = \frac{mv}{m + M}.\] В начале (поскольку тело находится в центре тележки) центр масс системы находится в центре тележки. В конце (поскольку тело снова в центре) там же находится и центр масс. Поэтому перемещение тележки равно перемещению центра масс системы за то время, за которое тело совершило 2020 столкновений с бортиками. То есть \[S_m = \frac{mv}{m + M}\,t,\] где \(t\) — время, прошедшее от толчка тела до того, как оно вернулось в ту же точку, испытав 2020 столкновений с бортиками. Найдём это время. От 1-го столкновения до 2020-го тело пройдёт 2019 длин тележки с одной и той же относительной скоростью. Поэтому на это затратится время \(\dfrac{2019\,L}{v}\) и ещё два раза по половине тележки — после начального толчка до первого удара и от 2020-го удара до попадания в центр тележки. В результате находим, что \[t = \frac{2020\,L}{v}.\] Отсюда получаем окончательно \[S_m = \frac{2020\,mL}{m + M}.\]

Подсказка

Найдите силу тяжести, действующую на тело внутри Земли, как функцию расстояния от центра. Затем покажите, что движение тележки гармоническое, и перейдите к системе отсчёта тележки.

Ответ

\(N = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{R\cos\alpha}{l}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{d}{l}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{R}{2l}}\) колебаний.

Решение

Пусть туннель «опирается» на угол \(2\alpha\) (см. рисунок). Как известно, на тело массой \(m\), находящееся внутри Земли на расстоянии \(r\) от её центра, действует направленная к центру Земли сила тяжести \[F_m = \frac{mgr}{R},\] где \(mg\) — сила тяжести, действующая на тело на поверхности Земли, \(R\) — радиус Земли. Применяя второй закон Ньютона к тележке, найдём, что её ускорение \(a_m\) направлено вдоль туннеля и равно по величине \[a_m = \frac{F_{m,x}}{m} = \frac{g\,r_x}{R},\] где \(F_x\) — проекция силы тяжести на ось \(OX\), направленную вдоль туннеля, \(m\) — масса тележки. Поскольку \(r_x = x\), ускорение тележки пропорционально расстоянию от неё до точки \(O\) (ближайшей к центру Земли точки туннеля); это значит, что тележка (вместе с маятником на ней) будет совершать гармонические колебания относительно точки \(O\) с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{R}{g}}.\] Следовательно, до противоположной точки туннеля тележка доедет за половину периода: \[t = \pi\sqrt{\frac{R}{g}}\] (причём независимо от того, на какой угол «опирается» туннель).

Второй закон Ньютона для маятника имеет вид \[m_0\vec a_м = \vec F_m + \vec T,\] где \(m_0\) — масса маятника, \(\vec a_м\) — его ускорение в инерциальной системе отсчёта (например, относительно Земли), \(\vec T\) — сила натяжения нити. Но поскольку маятник колеблется на тележке, которая движется с ускорением, нам нужно найти его ускорение относительно тележки \(\vec a_{м.о.т.}\). Используя далее закон, аналогичный закону сложения скоростей (но для ускорений), \(\vec a_м = \vec a_{м.о.т.} + \vec a_m\), получим \[m_0\vec a_{м.о.т.} = \vec F_m + \vec T - m_0\vec a_m.\] (Для знакомых с понятием сил инерции отметим, что это уравнение является вторым законом Ньютона в неинерциальной системе отсчёта, связанной с тележкой, а \(-m_0\vec a_m\) — действующая на маятник сила инерции.) Но с учётом найденного ускорения \(a_m\) величина \(m_0 a_m\) есть проекция действующей на маятник силы тяжести на ось \(x\), поэтому вектор \(\vec F_m - m_0\vec a_m\) направлен перпендикулярно туннелю, а его величина равна проекции силы тяжести на ось \(OY\), перпендикулярную туннелю. Поэтому модуль этого вектора равен \[\left|\vec F_m - m_0\vec a_m\right| = \frac{m_0 g\,r_y}{R} = \frac{m_0 g\,OC}{R} = m_0 g\cos\alpha\] и не меняется в процессе движения тележки по туннелю.

Из полученных уравнений следует, что уравнение для ускорения маятника относительно тележки совпадает с уравнением для ускорения математического маятника, но в качестве «силы тяжести» в нём фигурирует постоянная сила \(m_0 g\cos\alpha\). А это значит, что маятник будет совершать колебания с периодом \[T_m = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g\cos\alpha}}.\] Поэтому за время \(t\) маятник совершит следующее количество колебаний: \[N = \frac{t}{T_m} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R\cos\alpha}{l}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{d}{l}} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{R}{2l}}.\]