Росатом, 2019/20, заключительный этап, 7 класс

Найдите время движения на каждом участке графика. Через сколько секунд автомобиль окажется на третьем участке и сколько метров он пройдёт по нему к 11-й секунде?

\(S = 38\) м.

Найдём время движения на каждом участке. Участок 0–10 м при \(v = 5\) м/с: \(t_1 = \dfrac{10}{5} = 2\) с. Участок 10–30 м при \(v = 4\) м/с: \(t_2 = \dfrac{20}{4} = 5\) с. Участок 30–40 м при \(v = 2\) м/с: \(t_3 = \dfrac{10}{2} = 5\) с.

Первые два участка автомобиль проходит за \(t_1 + t_2 = 7\) с, поэтому интервал \(11\) с закончится на третьем участке, когда тело пройдёт четыре пятых последнего участка. Поэтому за \(11\) с автомобиль пройдёт путь \(S = 30 + \dfrac{4}{5}\cdot 10 = 38\) м.

Сколько новых непокрашенных граней появляется при каждом распиле и какова площадь каждой из них?

\(1160\) мг, или \(1{,}16\) г.

Каждый распил даёт две новые грани, площадь которых совпадает с площадью одной грани куба. Поэтому \(6\) распилов дают \(12\) новых граней. У куба \(6\) граней, значит, нужно покрасить ещё две поверхности, каждая с площадью, равной площади всего куба. Поэтому потребуется \(1160\) мг, или \(1{,}16\) г краски.

Перейдите в систему отсчёта, связанную с границей льда. Приравняйте площадь льда, подплывающего к границе за малое время, и площадь льда, от неё уплывающего.

Граница сплошного льда движется по течению со скоростью \(u = v/25\).

Пусть искомая скорость границы «лёд–чистая вода» равна \(u\) и направлена по течению (это можно проверить по ответу). Перейдём в систему отсчёта, связанную с границей. В ней граница льда покоится, поэтому площадь льда, подплывающего к границе, равна площади льда, уплывающего от неё.

К границе за время \(\Delta t\) подплывают льдины, находящиеся от неё ближе, чем на расстоянии \(\Delta l = (v - u)\Delta t\). Они покрывают площадь \[\Delta S = \frac{1}{6}\,\Delta l\, b = \frac{1}{6}\,(v - u)\,\Delta t\, b,\] где \(b\) — ширина реки. От границы уплывают все льдины, находящиеся от неё на расстоянии \(\Delta l_1 = \left(\dfrac{v}{5} - u\right)\Delta t\), покрывающие площадь \[\Delta S_1 = \left(\frac{v}{5} - u\right)\Delta t\, b.\] Приравнивая площади, получаем \(\dfrac{1}{6}(v - u) = \dfrac{v}{5} - u\), откуда \(u = \dfrac{v}{25}\).

Поскольку эта скорость положительна, выбор направления был правильным: граница «вода–лёд» движется по течению со скоростью \(u = v/25\).

После возврата камня в самый широкий сосуд в каждом из внутренних сосудов воды не хватает на объём камня. Эта вода вся собирается в нижнем сосуде, площадь которого, не занятая другими сосудами, равна \(S\).

\(v/V = \dfrac{1}{115} \approx 0{,}0087\).

После того как камень окажется снова в самом широком сосуде, в каждом из четырёх сосудов с меньшими сечениями воды будет меньше ровно на объём камня. Вся эта вода окажется в нижнем сосуде и заполнит его доверху. Площадь сечения этого сосуда, не занятая другими сосудами, равна \(5S - 4S = S\), поэтому объём одного камня \(v\) находим из формулы \(4v = S\dfrac{h}{2}\), откуда \(v = \dfrac{Sh}{8}\).

Полный объём воды в сосудах найдём, суммируя объёмы воды в сосудах до перекладывания камня. Площадь сечения каждого сосуда, не занятая вставленным в него сосудом, равна \(S\): \[V = \frac{h}{2}S - v + 2Sh + 3Sh + 4Sh + 5Sh = \frac{29}{2}Sh - v = \frac{115}{8}Sh.\] Отсюда отношение объёма камня к объёму воды в сосудах \[\frac{v}{V} = \frac{1}{115} \approx 0{,}0087.\]

Тело находится в равновесии, поэтому натяжение нити, на которой оно висит, равно \(mg\). Найдите натяжения всех нитей через \(mg\), затем удлинения пружин по закону Гука и связь опускания груза с удлинением нитей.