Росатом, 2020/21, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Запишите закон сохранения энергии для точки на половине максимальной высоты и выразите максимальную высоту через начальную скорость и угол броска.

Ответ

\(\alpha = \arcsin\sqrt{\dfrac{2}{3}}\).

Решение

Пусть тело бросили с начальной скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту. Тогда его максимальная высота подъёма равна \[h = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.\] Используем закон сохранения энергии для подъёма на половину максимальной высоты и учитываем, что кинетическая энергия тела в этой точке в \(3/2\) раза меньше начальной: \[\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_0^2}{3} + mg\,\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{4g}.\] Из этого уравнения находим \[\alpha = \arcsin\sqrt{\frac{2}{3}}.\]

Подсказка

Сила Архимеда уравновешивает вес бруска. Учтите, что по отношению к первоначальному уровню воды брусок опускается глубже, чем на величину \(x\) от нового уровня.

Ответ

\(H_1 = H\left(1 + \dfrac{\Delta h\,\rho_0}{\rho h - \rho_0\,\Delta h}\right)\).

Решение

Поскольку плотность дерева меньше плотности воды, брусок плавает в воде. При этом глубина его погружения \(x\) относительно уровня воды определяется условием плавания — сила тяжести бруска равна силе Архимеда, действующей на брусок: \[mg = F_A \quad\Rightarrow\quad \rho g h S = \rho_0 g x S \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\rho}{\rho_0}\,h,\] где \(m\) — масса бруска, \(h\) — его высота, \(S\) — площадь поперечного сечения. Величина \(x\) отсчитывается от нового положения уровня воды в сосуде. Подъём уровня определяется соотношением площадей бруска и сосуда, которые не заданы. Однако подъём уровня воды задан, поэтому можно найти, насколько опустится нижняя грань бруска по отношению к первоначальному уровню воды, без знания площадей: \[\delta_1 = \frac{\rho}{\rho_0}\,h - \Delta h.\] (Брусок должен опуститься по отношению к первоначальному уровню, ведь он должен вытеснить воду, чтобы уровень воды поднялся, поэтому \(\dfrac{\rho}{\rho_0}h > \Delta h\).)

Когда ставят друг на друга \(n\) одинаковых брусков с одинаковым сечением, это эквивалентно опусканию в сосуд бруска высотой \(nh\) с тем же сечением. При фиксированных площадях сечения подъём уровня воды пропорционален высоте бруска, поэтому уровень воды поднимется на величину \(n\,\Delta h\). Нижняя грань стопки из \(n\) брусков опустится по отношению к первоначальному уровню на величину \[\delta_n = n\left(\frac{\rho}{\rho_0}\,h - \Delta h\right).\] Стопка брусков коснётся дна сосуда, если \(\delta_n > H\), т.е. \[n > \frac{H}{\dfrac{\rho}{\rho_0}h - \Delta h} = \frac{H\rho_0}{\rho h - \Delta h\,\rho_0}.\] Поэтому высота уровня воды в сосуде будет равна \[H_1 = H + n\,\Delta h = H\left(1 + \frac{\Delta h\,\rho_0}{\rho h - \rho_0\,\Delta h}\right).\]

Подсказка

Каждая перемычка от центра до окружности имеет сопротивление \(\lambda R\). Используйте симметрию цепи: какой проводник не несёт тока?

Ответ

\(R_{\text{об}} = \dfrac{(2 + 4\pi + \pi^2)\,\lambda R}{8 + 6\pi + \pi^2}\).

Решение

Поскольку сопротивление каждой перемычки от центра до окружности равно \(\lambda R\), данную в условии электрическую цепь можно представить в виде, показанном на рисунке. Проводник, идущий от центра окружности (т. В) к самой окружности в направлении, противоположном точке А (в точку С), представляем как два параллельных проводника с удвоенным сопротивлением (по сравнению с тем проводником, который был на этом месте). Сопротивление проводника из двух параллельно соединённых одинаковых проводников вдвое меньше сопротивления каждого из них. При этом благодаря симметрии цепи по проводнику, соединяющему два проводника с сопротивлением \(2\lambda R\) в точке С, электрический ток течь не будет. Поэтому его можно удалить из цепи без изменения её сопротивления.

Полученная цепь сводится к последовательному и параллельному соединению резисторов, её сопротивление ищется по правилам сложения сопротивлений:

В результате получим для сопротивления цепи \[R_{\text{об}} = \frac{\left(2 + 4\pi + \pi^2\right)\lambda R}{8 + 6\pi + \pi^2}.\]

Подсказка

Мощность, уходящая через перегородку, равна суммарной мощности источников, которые греют газ левее неё. Запишите закон Фурье для каждой перегородки.

Ответ

В правом отсеке \(t_{\text{пр}} = 25\,^\circ\text{C}\), в среднем \(t_{\text{ср}} = 32{,}5\,^\circ\text{C}\), в левом \(t_{\text{лев}} = 35\,^\circ\text{C}\).

Решение

В первом случае в установившемся режиме мощность теплопотерь через перегородку равна \(6P\). С другой стороны, по закону Фурье эта мощность пропорциональна разности температур между газом внутри сосуда и окружающим воздухом: \[6P = k\,(t_1 - t_0), \qquad k = \frac{6P}{t_1 - t_0},\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств перегородки и её площади.

Когда сосуд разделён перегородками на три отсека, потоки тепла через перегородки в установившемся режиме равны \(P\), \(3P\) и \(6P\) (см. рисунок).

Поэтому по закону Фурье для правой перегородки температура газа в правом отсеке равна той же величине, что и температура газа в сосуде, не разделённом перегородками: \(t_{\text{пр}} = t_1 = 25\,^\circ\text{C}\).

Применяя закон Фурье ко второй справа перегородке, получим \[3P = k\,(t_{\text{ср}} - t_{\text{пр}}) = k\,(t_{\text{ср}} - t_1),\] где \(t_{\text{ср}}\) — температура газа в среднем отсеке (площадь второй перегородки и её теплопроводящие свойства такие же, как у правой, поэтому входит тот же коэффициент \(k\)). Подставляя \(k\), получим \[t_{\text{ср}} = \frac{3t_1 - t_0}{2} = 32{,}5\,^\circ\text{C}.\] Аналогично, для левой перегородки \[P = k\,(t_{\text{лев}} - t_{\text{ср}}),\] где \(t_{\text{лев}}\) — температура газа в левом отсеке. Подставляя \(k\) и температуру в среднем отсеке, найдём \[t_{\text{лев}} = \frac{5t_1 - 2t_0}{3} = 35\,^\circ\text{C}.\]

Подсказка

За малое время \(\Delta t\) длина каждой нити изменится на \(\omega R\,\Delta t\). Найдите смещение центра диска, для которого известны проекции на обе нити.

Ответ

\(v = \dfrac{\omega R}{\cos(\alpha/2)}\); центр диска движется параллельно биссектрисе угла между нитями, в сторону от точек подвеса (вниз).

Решение

Пусть в некоторый момент времени диск занимал положение, показанное на рисунке. Найдём перемещение центра диска за малый интервал времени \(\Delta t\). Поскольку диск вращается с угловой скоростью \(\omega\), а нити натянуты, то длина каждой нити стала больше на величину \(\omega R\,\Delta t\). Поэтому переместятся точки контакта нитей с диском и соответственно центр диска.

Так как рассматривается малый интервал времени \(\Delta t\), углы между старыми и новыми положениями нитей очень малы, и в получающихся треугольниках углы при основании практически равны. Следовательно, \(BC = FE = \omega R\,\Delta t\). Поэтому проекции вектора перемещения центра диска \(OO'\) на левую и на правую нить равны \(\omega R\,\Delta t\). Прямоугольные треугольники \(OGO'\) и \(OHO'\) равны друг другу, поэтому углы между вектором перемещения диска и нитями равны: \[\angle GO'O = \angle HO'O = \frac{\alpha}{2},\] т.е. центр диска движется параллельно биссектрисе угла между нитями, а длину вектора перемещения диска за рассматриваемый интервал времени находим из прямоугольного треугольника \(OGO'\): \[OO' = \frac{GO'}{\cos(\alpha/2)} = \frac{\omega R\,\Delta t}{\cos(\alpha/2)}.\]

Поэтому скорость центра диска в рассматриваемый момент \[v = \frac{OO'}{\Delta t} = \frac{\omega R}{\cos(\alpha/2)}.\]