Росатом, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

За малое время \(\Delta t\) тележка сместится на \(v\,\Delta t\). Насколько при этом изменится длина участка нити между блоком и тележкой, и что это значит для второго блока?

\(v_{\text{т.о.т.}} = \dfrac{v}{2}\).

За интервал времени \(\Delta t\) тележка переместится на расстояние \(v\,\Delta t\). Нить от нижнего блока до тележки станет длиннее на \(v\,\Delta t\), значит, веревка с другой стороны от этого блока станет короче на ту же величину. Это произойдет за счет приближения второго блока к стенке: он приблизится к стенке на \(v\,\Delta t/2\). Поэтому скорость груза относительно земли равна \(v/2\). Так как тележка движется в противоположную сторону, скорость груза относительно тележки \[v_{\text{т.о.т.}} = \frac{v}{2}.\]

Перейдите в систему отсчета, связанную с грузовиком. Что будет делать груз в ней, пока шнур растянут?

\(t = \pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} + \dfrac{l_0}{v}\); скорость груза относительно земли в момент встречи равна \(2v\).

В начальный момент груз находится на расстоянии \(l_0\) от грузовика. Перейдем в систему отсчета, связанную с грузовиком. В ней грузовик покоится, а грузу в начальный момент сообщили скорость \(v\), направленную от грузовика. Пока шнур растянут, движение груза — гармоническое колебание с периодом \[T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.\] Через половину периода груз снова окажется на расстоянии \(l_0\) от грузовика, его скорость также равна \(v\), но направлена к грузовику. После этого шнур сомнется и не будет оказывать влияния на машину. Поэтому грузовик будет двигаться с постоянной скоростью и достигнет груза через время \(l_0/v\). Итого \[t = \pi\sqrt{\frac{m}{k}} + \frac{l_0}{v}.\] В момент столкновения скорость груза относительно грузовика равна \(v\), а, следовательно, его скорость относительно земли равна \(2v\).

Запишите уравнение Клапейрона–Менделеева для трех состояний газа и условие равновесия поршня с грузом. Вычитая уравнения, исключите неизвестные давление и температуру.

\(m_1 = \dfrac{3}{2}\,m\).

Пусть первоначальное давление газа в сосуде равно \(p\), объем \(V\), количество вещества \(\nu\), температура \(T\). Это давление создается силой тяжести поршня и атмосферным давлением: \[pV = \nu RT.\] Пусть \(n = 3\) — во сколько раз уменьшился объем после первого груза массой \(m\). Тогда, так как груз создает дополнительное давление \(mg/S\), где \(S\) — площадь сечения сосуда, \[\left(p + \frac{mg}{S}\right)\frac{V}{n} = \nu RT.\] Вычитая из второго уравнения первое, получим \[\frac{mg}{S} = \frac{(n-1)\nu RT}{V}, \qquad \frac{\nu RT}{V} = \frac{mg}{(n-1)S}.\] Положим на поршень еще один груз массой \(m_1\), чтобы объем газа уменьшился еще в \(k = 2\) раз: \[\left(p + \frac{mg}{S} + \frac{m_1 g}{S}\right)\frac{V}{kn} = \nu RT.\] Вычитая из этого уравнения предыдущее, получим \[\frac{m_1 g}{S} = \frac{nk\,\nu RT}{V} - \frac{n\,\nu RT}{V} = \frac{n(k-1)\,\nu RT}{V}.\] Используя полученное выше соотношение, окончательно \[m_1 = \frac{n(k-1)\,m}{n-1} = \frac{3\,m}{2}.\]

Внутри проводника поле равно нулю. Запишите это условие для точек внутри каждой пластины и закон сохранения заряда для каждой пластины.

\(q_1 = -\dfrac{Q}{2}\), \(q_2 = \dfrac{3Q}{2}\), \(q_3 = -\dfrac{3Q}{2}\), \(q_4 = -\dfrac{Q}{2}\).

По закону сохранения заряда для первой и второй пластин \[q_1 + q_2 = Q, \qquad q_3 + q_4 = -2Q.\] Поскольку пластины проводящие, напряженность поля внутри них равна нулю. Суммируя поля от всех четырех поверхностей по принципу суперпозиции и приравнивая проекцию на ось \(x\) нулю внутри каждой пластины, получим \[\frac{q_1}{2S\varepsilon_0} - \frac{q_2}{2S\varepsilon_0} - \frac{q_3}{2S\varepsilon_0} - \frac{q_4}{2S\varepsilon_0} = 0, \qquad \frac{q_1}{2S\varepsilon_0} + \frac{q_2}{2S\varepsilon_0} + \frac{q_3}{2S\varepsilon_0} - \frac{q_4}{2S\varepsilon_0} = 0,\] где \(S\) — площадь пластин, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная. Решая систему \[q_1 + q_2 = Q, \quad q_3 + q_4 = -2Q, \quad q_1 - q_2 - q_3 - q_4 = 0, \quad q_1 + q_2 + q_3 - q_4 = 0,\] получим \[q_1 = -\frac{Q}{2}, \qquad q_2 = \frac{3Q}{2}, \qquad q_3 = -\frac{3Q}{2}, \qquad q_4 = -\frac{Q}{2}.\]

Нить и кольца невесомы, значит, сила натяжения нити перпендикулярна стержням в каждой точке. Какую траекторию описывает бусинка, если длина нити фиксирована?

\(a = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\,g\); \(t = 2\sqrt{\dfrac{l}{g}}\).

Так как нить и кольца невесомы и трения нет, нить в процессе движения бусинки перпендикулярна стержням. Пусть длина вертикального участка нити \(y\), горизонтального — \(x\). Тогда \(x + y = 3l\). В системе координат, оси которой совпадают со стержнями, траектория бусинки описывается функцией \(y = -x + 3l\), т.е. направлена под углом \(45^\circ\) к горизонту и пересекает вертикальный стержень на расстоянии \(3l\) от точки их соединения. Длина траектории равна \(\sqrt{2}\,l\).

Найдем ускорение бусинки. На нее действуют две силы натяжения и сила тяжести. Так как сумма сил натяжения перпендикулярна траектории, ускорение бусинки равно проекции ускорения свободного падения на направление траектории: \[a = \frac{\sqrt{2}}{2}\,g.\] Используя законы равноускоренного движения, \[\sqrt{2}\,l = \frac{a t^2}{2} = \frac{\sqrt{2}\,g\,t^2}{4} \quad\Rightarrow\quad t = 2\sqrt{\frac{l}{g}}.\]