Росатом, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Количество вещества газа в сосудах различно: оно пропорционально давлению. Запишите первое начало термодинамики для изохорического нагрева в обоих сосудах.

\(T_0 = \dfrac{2}{3}\,T\).

Пусть начальная температура газов равна \(T_0\). Из закона Клапейрона–Менделеева для газов в сосудах \(p_1 V = \nu_1 R T_0\) и \(\frac{p_1}{2} V = \nu_2 R T_0\), где \(V\) — объем сосудов, откуда \(\nu_2 = \nu_1/2\). Процесс изохорический, поэтому газы не совершают работу, и по первому закону термодинамики \[Q = \frac{3}{2}\,\nu_1 R\,(T - T_0), \qquad Q = \frac{3}{2}\,\frac{\nu_1}{2}\,R\left(\frac{4T}{3} - T_0\right).\] Приравнивая правые части, получим \[T - T_0 = \frac{1}{2}\left(\frac{4T}{3} - T_0\right) \quad\Rightarrow\quad T_0 = \frac{2}{3}\,T.\]

Сопротивление вольтметра и резистора связаны условием, которое следует из того, что показание вольтметра \(V_2\) меньше показания \(V_1\). Найдите сопротивление участка с двумя вольтметрами и через него — токи в цепи.

\(U_{\text{ист}} = \dfrac{75}{4}\text{ В} = 18{,}75\text{ В}\).

Пусть сопротивление вольтметра \(R\), сопротивление резистора \(r\). Показание вольтметра \(V_2\) меньше показания \(V_1\) в три раза: \(U_1 = 3U_2\). Вольтметры \(V_1\) и \(V_3\) вместе с участком из вольтметра \(V_2\) и резистора образуют контур, для которого \[U_3 = U_1 + U_2 \quad\Rightarrow\quad 3U_2 + U_2 = 10\text{ В} \quad\Rightarrow\quad U_2 = 2{,}5\text{ В},\quad U_1 = 7{,}5\text{ В}.\] Ток через \(V_1\) равен \(I_1 = U_1/R\) и делится на участке из параллельно соединенных вольтметра \(V_2\) и резистора: \(I_1 = \dfrac{U_2}{R} + \dfrac{U_2}{r}\). Отсюда \(\dfrac{U_1}{R} = U_2\left(\dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{r}\right)\), т.е. \(3 = 1 + \dfrac{R}{r}\), а значит, \(R = 2r\).

Через резистор \(r\), стоящий последовательно с источником, течет ток \(I_3 + I_1 = \dfrac{U_3 + U_1}{R}\), поэтому напряжение источника \[U_{\text{ист}} = U_3 + \frac{r}{R}\,(U_3 + U_1) = 10\text{ В} + \frac{1}{2}\cdot 17{,}5\text{ В} = 18{,}75\text{ В} = \frac{75}{4}\text{ В}.\]

Найдите производную кинетической энергии по времени, используя уравнение движения ракеты (закон сохранения импульса) для изменения ее скорости.

\(v = 2v_0\).

Кинетическая энергия ракеты \(K = \dfrac{mv^2}{2}\), где \(m\) и \(v\) — масса и скорость ракеты в данный момент. Ее производная по времени \[\frac{dK}{dt} = \frac{v^2}{2}\,\frac{dm}{dt} + mv\,\frac{dv}{dt}.\] По закону сохранения импульса в системе отсчета, связанной с ракетой, изменение ее скорости за малое время \(dt\) равно \(m\,dv = -v_0\,dm\), т.е. \(m\,\dfrac{dv}{dt} = v_0\,\mu\), где \(\mu = -\dfrac{dm}{dt} > 0\) — постоянный массовый расход. Тогда \[\frac{dK}{dt} = -\frac{\mu v^2}{2} + \mu v_0 v.\] Приравнивая производную нулю, получим \(v = 2v_0\). Т.е. кинетическая энергия ракеты максимальна, когда ее скорость вдвое больше скорости продуктов сгорания относительно ракеты.

Центр масс системы не может смещаться по горизонтали. Какие связи между ускорениями куба, тела 1 и тела 2 дает нить?

\(a_2 = \dfrac{\sqrt{17}}{7}\,g\).

Пусть масса куба \(nm\) (здесь \(n = 2\)). Так как на систему тел в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, центр масс системы не может перемещаться по горизонтали. Когда тело 2 опускается, тело 1 движется влево, а куб — вправо. Со стороны вертикальной грани куба на тело 2 действует сила реакции \(N_1\). Второй закон Ньютона для тел 1, 2 и куба в проекциях на оси дает систему уравнений; связи между ускорениями: горизонтальное ускорение тела 2 равно ускорению куба, а сумма ускорения тела 1 и ускорения куба равна вертикальному ускорению тела 2 (\(a_1 + a_3 = a_{2,в}\)). Решая эту систему, получим \[a_{2,\text{г}} = \frac{g}{2n+3}, \qquad a_{2,\text{в}} = \frac{(n+2)\,g}{2n+3}.\] Ускорение тела 2 \[a_2 = \sqrt{a_{2,\text{г}}^2 + a_{2,\text{в}}^2} = \frac{g\sqrt{n^2+4n+5}}{2n+3}.\] Для \(n = 2\) имеем \(a_2 = \dfrac{\sqrt{17}}{7}\,g\). Вектор ускорения направлен под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}(n+2) = \operatorname{arctg} 4\) к горизонту.

При повороте стержня на малый угол точки крепления нитей смещаются по горизонтали, и стержень немного поднимается. Найдите потенциальную энергию как функцию угла поворота и кинетическую энергию тел.

\(\omega = \dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{g}{h}}\) (циклическая частота), \(\nu = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{1}{3\pi}\sqrt{\dfrac{g}{h}}\).

Отклоним стержень на малый угол \(\varphi\). Кинетическая и потенциальная энергии для малых углов имеют вид \(K = \dfrac{A\omega^2}{2}\), \(\Pi = \dfrac{B\varphi^2}{2}\), где \(\omega = \dot\varphi\), и отношение \(B/A\) равно квадрату круговой частоты колебаний.

При повороте точки крепления нитей смещаются по горизонтали на \(\Delta x = \dfrac{l\varphi}{3}\), поэтому нити отклоняются от вертикали на угол \(\alpha = \dfrac{l}{3h}\,\varphi\). Стержень при этом поднимается на \[\Delta h = h\left(1 - \cos\alpha\right) \approx \frac{h\alpha^2}{2} = \frac{l^2\varphi^2}{18h}.\] Потенциальная энергия шариков увеличивается на \[\Delta\Pi = 2mg\,\Delta h = \frac{mgl^2\varphi^2}{9h}.\] Кинетическая энергия шариков (каждый движется со скоростью \(\frac{l}{2}\omega\)): \[K = \frac{2m v^2}{2} = \frac{ml^2\omega^2}{4}.\] Отсюда квадрат круговой частоты \[\omega_{\text{кол}}^2 = \frac{B}{A} = \frac{2mgl^2}{9h} : \frac{ml^2}{2} = \frac{4g}{9h} \quad\Rightarrow\quad \omega_{\text{кол}} = \frac{2}{3}\sqrt{\frac{g}{h}}.\]