Росатом, 2020/21, заключительный этап, 11 класс

Сравните объем масла, вытесненного льдинкой, с объемом воды, которая образуется при таянии. Какая из этих величин больше, если вода тонет?

Уровень масла понизится на \(\Delta h = \dfrac{\rho_л\,(\rho_в - \rho_м)\,V}{\pi R^2\,\rho_в\,\rho_м}\).

Условие равновесия плавающего льда: \(\rho_л g V = \rho_м g V_{\text{п.ч.}}\), где \(V_{\text{п.ч.}}\) — объем погруженной в масло части льдинки, равный объему вытесненного масла. Отсюда \(V_{\text{п.ч.}} = \dfrac{\rho_л V}{\rho_м}\).

Когда льдинка растаяла, образовавшаяся вода утонет и вытеснит объем масла, равный своему объему \(V_в\). Из равенства масс \(\rho_л V = \rho_в V_в\) получаем \(V_в = \dfrac{\rho_л V}{\rho_в}\).

Поскольку \(\rho_м < \rho_в\), то \(V_{\text{п.ч.}} > V_в\): льдинка вытесняла больший объем масла, чем вода, и уровень масла понизится. Величину понижения найдем из того, что излишек вытесненного масла распределится по всему сосуду: \[\Delta h = \frac{V_{\text{п.ч.}} - V_в}{\pi R^2} = \frac{\rho_л\,(\rho_в - \rho_м)\,V}{\pi\,\rho_в\,\rho_м\,R^2}.\]

Работа силы тяжести при подъеме равна площади под графиком \(m\,g(x)\) как функции высоты. Какой высоты достигает область притяжения планеты?

\(v_0 = \dfrac{g_0}{\sqrt{\alpha}}\).

Область притяжения планеты простирается до высоты \(h = g_0/\alpha\), выше которой ускорение свободного падения равно нулю. Минимальная скорость, при которой тело покинет планету, — это скорость \(v_0\) на поверхности, при которой скорость тела на высоте \(h\) станет равной нулю. По теореме об изменении кинетической энергии \[-\frac{m v_0^2}{2} = A,\] где \(A\) — работа силы тяжести при подъеме от поверхности до высоты \(h\). Работа равна площади под графиком зависимости \(-m\,g(x)\) от \(x\) (график — треугольник): \[A = -m\int_0^{h} g(x)\,dx = -\frac{m g_0^2}{2\alpha}.\]

Отсюда \(v_0 = \dfrac{g_0}{\sqrt{\alpha}}\).

Выразите давление через объем с помощью уравнения состояния и первого начала термодинамики для малого количества теплоты.

\(C_{\min} = \dfrac{3}{2}R\) (при \(V = V_0\)), \(C_{\max} = 2R\) (при \(V = 2V_0\)).

Сообщим газу малое количество теплоты \(\delta Q\), найдем приращение температуры \(\Delta T\) и теплоемкость \(C = \dfrac{\delta Q}{\Delta T}\). По первому закону термодинамики \(\delta Q = \delta A + \Delta U\), где \(\delta A = p\,\Delta V\), а для одноатомного газа \(\Delta U = \dfrac{3}{2}R\,\Delta T\) (один моль). Из \(V = V_0 + \alpha T\) следует \(\Delta V = \alpha\,\Delta T\), а давление из уравнения Клапейрона–Менделеева \[p = \frac{RT}{V} = \frac{R\,(V - V_0)}{\alpha V}.\] Поэтому \[C = \frac{3}{2}R + p\,\alpha = \frac{5}{2}R - \frac{R V_0}{V}.\] Теплоемкость монотонно растет с объемом, минимальное значение достигается при \(V = V_0\), максимальное — при \(V = 2V_0\): \[C_{\min} = \frac{3}{2}R, \qquad C_{\max} = \frac{5}{2}R - \frac{1}{2}R = 2R.\]

Потенциал меньшей сферы и потенциал большей сферы до соединения. После соединения их потенциалы должны выровняться, а потенциал большой сферы определяется зарядом ее внешней поверхности.

\(\dfrac{q}{4}\); заряд имеет тот же знак, что и \(q\).

Поле внутри меньшей сферы отсутствует, поэтому ее потенциал равен потенциалу в центре. По принципу суперпозиции потенциал в центре сфер до соединения (суммарный заряд сфер равен нулю): \[\varphi_R = \frac{kq}{2R}, \qquad \varphi_{3R} = \frac{kq}{3R}\quad\text{(потенциал большой сферы создается зарядом $q$ в центре)}.\] Потенциал большой сферы после соединения не меняется, так как он определяется зарядами ее внешней поверхности, равными суммарному заряду \(q\) внутри. Если с меньшей сферы на большую перетечет заряд \(x\), потенциал меньшей сферы станет \[\varphi'_R = \frac{kq}{2R} - \frac{kx}{R} + \frac{kx}{3R} = \frac{kq}{2R} - \frac{2kx}{3R}.\] Приравнивая его потенциалу большой сферы \(\dfrac{kq}{3R}\), получим \(x = \dfrac{q}{4}\). Заряд того же знака, что и \(q\), величиной \(\dfrac{q}{4}\).

Пока цепочка лежит на столе, ее звенья вовлекаются в движение, и на падающую часть действует сила со стороны лежащих звеньев. Найдите ускорение падающего конца.

\(t = \sqrt{\dfrac{6h}{g}}\).

Пока часть цепочки лежит на столе, ее ускорение не равно ускорению свободного падения: движущимся звеньям приходится вовлекать в движение покоящиеся, для этого нужна сила. Пусть скорость цепочки в некоторый момент \(v\). За время \(\Delta t\) начнет двигаться кусочек длиной \(v\,\Delta t\), изменение его импульса \(\Delta p = \lambda v^2\,\Delta t\) (\(\lambda\) — масса единицы длины цепочки). Сила, действующая на покоящиеся звенья, \(F = \lambda v^2\), и по третьему закону Ньютона такая же сила действует на падающие звенья. Второй закон Ньютона для падающей части цепочки длиной \(x\): \[\lambda x\,a = \lambda x\,g - \lambda v^2 \quad\Rightarrow\quad a = g - \frac{v^2}{x}.\] Для равноускоренного движения без начальной скорости \(v^2 = 2aS\), где \(S\) — пройденный путь. Тогда \(v^2 = 2\,\dfrac{g - a}{2}\,x\), и движение цепочки равноускоренное с ускорением, удовлетворяющим уравнению \(a = \dfrac{g - a}{2}\). Отсюда \(a = \dfrac{g}{3}\). Для конца цепочки \[x(t) = \frac{g}{3}\cdot\frac{t^2}{2}.\] Цепочка коснется пола, когда \(x = h\), т.е. \(t = \sqrt{\dfrac{6h}{g}}\).