Росатом, 2020/21, заключительный этап, 7 класс

Подсказка

Сравните плотности: масса и объем связаны через плотность. Какая связь между отношением масс ящиков и отношением плотностей?

Ответ

\(\dfrac{M_б}{M_м}=0{,}96\).

Решение

Пусть масса и объем большой детали — \(m_б\) и \(V_б\), масса и объем малой — \(m_м\) и \(V_м\). Поскольку масса большой детали на \(20\,\%\) больше массы малой, то \[m_б = m_м + 0{,}2\,m_м = 1{,}2\,m_м .\] Поскольку объем малой детали на \(20\,\%\) меньше объема большой, то \[V_м = V_б - 0{,}2\,V_б = 0{,}8\,V_б .\] Отсюда находим плотности: \[\rho_б = \frac{m_б}{V_б}, \qquad \rho_м = \frac{m_м}{V_м} = \frac{m_б}{1{,}2}\cdot\frac{1}{0{,}8\,V_б} = 1{,}04\,\rho_б .\] Поэтому отношение масс одинаковых ящиков, заполненных большими (\(M_б\)) и малыми (\(M_м\)) деталями, равно \[\frac{M_б}{M_м} = \frac{\rho_б}{\rho_м} = 1{,}2\cdot 0{,}8 = 0{,}96 .\]

Подсказка

Рассмотрите два случая: велосипедисты встретились до момента \(t_2\) или после него.

Ответ

Возможны два случая: \(t=14\) ч \(40\) мин (встреча после \(t_2\), велосипедисты ещё не встретились) и \(t=14\) ч \(24\) мин (встреча до \(t_2\), в момент \(t_2\) они уже разъехались).

Решение

Условию не противоречат две ситуации: (1) встреча велосипедистов произошла после момента \(t_2\) и (2) встреча произошла до момента \(t_2\).

Рассмотрим сначала первую ситуацию. Если в момент \(t_1\) расстояние между велосипедистами было равно \(l\), а в момент \(t_2\) — \(l/4\), но велосипедисты ещё не встретились, то за время \(t_2-t_1\) они проехали в сумме расстояние \(3l/4\). Поэтому скорость сближения велосипедистов составляет \[v_1 = \frac{3l}{4\,(t_2-t_1)} .\] И расстояние \(l\) оба велосипедиста пройдут за время \[\Delta t_1 = \frac{l}{v_1} = \frac{4\,(t_2-t_1)}{3} \ \text{мин} .\] Следовательно, велосипедисты встретятся в момент времени \[t = t_2 + \Delta t_1 = t_2 + \frac{4\,(t_2-t_1)}{3} = 14 \text{ ч } 40 \text{ мин} .\]

Если к моменту времени \(t_2\) велосипедисты уже встретились и едут друг от друга, то к этому моменту они прошли расстояние \(l\) и ещё \(l/4\), поэтому в сумме они прошли расстояние \(5l/4\). Поэтому скорость их сближения-удаления составляет \[v_2 = \frac{5l}{4\,(t_2-t_1)} .\] И расстояние \(l\) оба велосипедиста пройдут за время

\[\Delta t_2 = \frac{l}{v_2} = \frac{5\,(t_2-t_1)}{3} = 50 \text{ мин} .\] Следовательно, велосипедисты встретятся в момент времени \[t = t_2 + \frac{4\,(t_2-t_1)}{5} = 14 \text{ ч } 24 \text{ мин} .\]

Подсказка

Когда тело в равновесии, обе пружины сжаты. Запишите условие равновесия сил и выразите высоту тела через \(k\), \(m\), \(l\).

Ответ

\(x=\dfrac{kl-mg}{3k}\) при \(mg<kl\); при \(mg \geq kl\) тело лежит на нижнем основании рамки.

Решение

Когда тело будет в равновесии, силы упругости пружин компенсируют силу тяжести. При этом, поскольку недеформированные длины пружин равны длине рамки, то обе пружины будут сжатыми, и сила упругости нижней пружины действует на тело вверх, сила упругости верхней — вниз.

Пусть тело находится на высоте \(x\) от нижнего торца рамки. Тогда величина сжатия нижней пружины равна \(l-x\), верхней — \(x\). Поэтому условие равновесия тела дает \[mg + 2kx = k\,(l-x) .\] Отсюда \[x = \frac{kl-mg}{3k} .\] При \(mg>kl\) величина \(x\) оказывается отрицательной, что означает, что тело будет лежать на нижнем основании рамки (напомним, что по условию закон Гука работает для любых сжатий пружин). Действительно, в этом случае даже в отсутствие верхней пружины нижняя не сможет удержать тело при любых деформациях.

Подсказка

Выразите разность времён прохождения дистанции самым медленным и самым быстрым спортсменом через \(\tau\) и \(\Delta t\), затем запишите время финиша для обратного порядка старта.

Ответ

\(\tau_1 = 34\) мин.

Решение

Пусть первый спортсмен преодолел дистанцию за время \(t_1\), \(N\)-ый — за время \(t_N\). Тогда, если часы в момент старта первого спортсмена показывали время \(t_0\), то в момент его финиша — \(t_0+t_1\). Поскольку в момент старта последнего спортсмена часы показывали время \(t_0+(N-1)\Delta t\), то в момент его финиша часы показывали время \(t_0+(N-1)\Delta t+t_N\). Поэтому продолжительность финиша спортсменов составила \[\tau = (t_0+t_1) - \bigl(t_0+(N-1)\Delta t+t_N\bigr) = t_1 - t_N - (N-1)\Delta t .\] Отсюда находим разность времени прохождения первым (самым медленным) и последним (самым быстрым) спортсменами \[t_1 - t_N = \tau + (N-1)\Delta t .\]

Если спортсмены стартуют в обратном порядке, то к финишу первым придет \(N\)-ый спортсмен (который стартует первым), последним — первый. Поэтому если \(N\)-ый спортсмен стартовал, когда часы показывали время \(t_0\), то он придет к финишу, когда часы будут показывать время \(t_0+t_N\), первый (который стартует последним) — когда часы будут показывать время \(t_0+t_1+(N-1)\Delta t\). Поэтому продолжительность финиша в этом случае будет равна \[\tau_1 = \bigl(t_0+t_1+(N-1)\Delta t\bigr) - \bigl(t_0+t_N\bigr) = t_1 - t_N + (N-1)\Delta t .\] Подставляя теперь в эту формулу разность времен прохождения дистанции первым и последним спортсменами, получим \[\tau_1 = \tau + 2(N-1)\Delta t = 34 \text{ мин} .\]

Подсказка

Обозначьте длину участка AX через \(S\) и время на участке ZB через \(t\); затем выразите время, которое автомобиль затратил на первую половину пути.

Ответ

\(v_{ср}=\dfrac{5}{20}\,v\).

Решение

Обозначим длину самого короткого участка пути как \(S\) (\(AX=S\)), а время прохождения участка ZB как \(t\). Тогда: \(XY=2S\), \(YZ=3S\), \(ZB=4S\), \(t_{YZ}=2t\), \(t_{XY}=3t\), \(t_{AX}=4t\). Найдем, какое время \(t_1\) автомобиль затратил на прохождение первой половины пути.

Очевидно, первая половина пути составляет \(5S\). В нее входит весь участок пути AX, весь участок пути XY, и две трети участка пути YZ. Поэтому время, затраченное на ее прохождение, равно сумме времен прохождения участков AX, XY и двух третей времени прохождения участка YZ. Поэтому \[t_1 = 4t + 3t + \frac{2}{3}\cdot 2t = \frac{25}{3}\,t .\] Отсюда находим среднюю скорость автомобиля на первой половине пути \[v_{ср} = \frac{5S}{\frac{25}{3}\,t} = \frac{3S}{5t} .\] А поскольку скорость автомобиля на последнем участке равнялась \(v\), то \(v=4S/t\), откуда получаем \[v_{ср} = \frac{5}{20}\,v .\]