Росатом, 2020/21, заключительный этап, 8 класс

Запишите формулу «расстояние–время–скорость» для каждого из двух случаев, затем сложите и вычтите полученные уравнения.

\(v_1=\dfrac{2}{3}\,\dfrac{\Delta l}{\Delta t}\),  \(v_2=\dfrac{1}{3}\,\dfrac{\Delta l}{\Delta t}\).

При движении навстречу формулы «расстояние–время–скорость» для каждого тела дают \[\frac{\Delta l}{\Delta t} = v_1 + v_2 .\] А при движении друг за другом \[\frac{2\Delta l}{6\Delta t} = v_1 - v_2\] (здесь мы считаем, что \(v_1>v_2\)). Складывая и вычитая эти уравнения, найдем \[v_1 = \frac{2}{3}\,\frac{\Delta l}{\Delta t} , \qquad v_2 = \frac{1}{3}\,\frac{\Delta l}{\Delta t} .\]

Найдите среднюю плотность смеси через массы и объемы компонент; условия плавания в каждой жидкости дают связь плотностей.

\(k=\dfrac{5}{9}\).

Условия плавания бруска в первой и второй жидкостях дают \[\rho_0 V g = \rho_1 g\,\frac{2}{3}V , \qquad \rho_0 V g = \rho_2 g\,\frac{1}{3}V ,\] где \(\rho_0\), \(\rho_1\) и \(\rho_2\) — плотности бруска, первой и второй жидкостей соответственно, \(V\) — объем бруска. Отсюда следует, что \(\rho_0=(2/3)\rho_1\) и \(\rho_2=2\rho_1\). Найдем теперь среднюю плотность смеси жидкостей: \[\rho_{ср} = \frac{M+\frac{M}{2}}{\frac{M}{\rho_1}+\frac{M}{2\rho_2}} = \frac{M+\frac{M}{2}}{\frac{M}{\rho_1}+\frac{M}{4\rho_1}} = \frac{6}{5}\,\rho_1 .\] Поэтому условие плавания бруска в смеси жидкостей дает \[\rho_0 V g = \rho_{ср}\, g\, k V ,\] где \(k\) — доля объема бруска, погруженная в смесь жидкостей. Отсюда получаем \[k = \frac{5}{9} .\]

Подумайте, есть ли ток в той диагонали, которая не соединяет точки подключения; симметрия цепи поможет ответить на вопрос.

\(R=\dfrac{\sqrt{2}\,\lambda a}{\sqrt{2}+1}\).

Поскольку данная в условии электрическая цепь симметрична относительно направления «верх–низ» (см. рисунок) по поперечной диагонали квадрата не течет электрический ток. Действительно, с точки зрения протекания электрического тока «верх» цепи ничем не отличается от ее «низа», а «право» от «лева». Поэтому токи в продольной диагонали квадрата до и после центрального узла будут одинаковы. А если бы в поперечной диагонали текли токи, они были бы одинаковы по величине и направлению, а это привело бы к изменению тока в продольной диагонали «до» и «после» центрального узла.

А это означает, что если мы удалим центральный поперечный проводник из цепи, с точки зрения протекания электрического тока она никак не изменится, и, следовательно, ее сопротивление останется точно таким же. Но ее сопротивление совсем легко вычислить, поскольку эта цепь представляет собой три параллельных проводника, сопротивления которых таковы (сверху вниз): \(2\lambda a\), \(\sqrt{2}\lambda a\) и \(2\lambda a\) (длина диагонали квадрата в \(\sqrt{2}\) раз больше длины стороны). Находя общее сопротивление параллельно соединенных проводников, получим \[\frac{1}{R} = \frac{1}{2\lambda a} + \frac{1}{\sqrt{2}\lambda a} + \frac{1}{2\lambda a} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}\,\lambda a} .\] Отсюда \[R = \frac{\sqrt{2}\,\lambda a}{\sqrt{2}+1} .\]

Запишите уравнения теплового баланса для двух граничных случаев: \(m_л=n\,m_в\) и \(m_в=2n\,m_л\). Затем исключите неизвестные начальные температуры.

\(\dfrac{m_л}{m_в}=\dfrac{n+1}{2n+1}\).

Из условия следует, что если \(m_л=n\,m_в\), то в калориметре будет лед с температурой \(T=0\,^\circ\)C. Это значит, что при таком соотношении масс, при установлении равновесия лед нагрелся до температуры \(T=0\,^\circ\)C, вода остыла до температуры \(T=0\,^\circ\)C и вся превратилась в лед. Поэтому уравнение теплового баланса для таких масс воды и льда дает \[c_л\, n\, m_в\,(T-T_л) = \lambda m_в + c_в m_в\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л\, n\, T_л = \lambda + c_в T_в ,\] где \(c_л\) и \(c_в\) — удельные теплоемкости льда и воды, \(\lambda\) — удельная теплота кристаллизации воды, \(T_л\) и \(T_в\) — начальные температуры льда и воды (в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия).

Аналогично, если \(m_в=2n\,m_л\), то после установления равновесия в калориметре будет вода с температурой \(T=0\,^\circ\)C. Т.е. при таком соотношении масс лед нагреется до температуры плавления и превратится в воду при этой же температуре, а вода охладится до температуры плавления льда. Поэтому \[c_л m_л\,(T-T_л) + \lambda m_л = c_в\, 2n\, m_л\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л T_л + \lambda = 2 c_в\, n\, T_в ,\] (аналогично (*) в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия). Решая систему уравнений \[c_л\, n\, T_л + c_в T_в = -\lambda , \qquad c_л T_л + 2 c_в\, n\, T_в = \lambda\] относительно величин \(c_л T_л\) и \(c_в T_в\), получим \[c_л T_л = -\frac{\lambda\,(2n+1)}{2n^2-1} , \qquad c_в T_в = \frac{\lambda\,(n+1)}{2n^2-1} ,\] (здесь температуры льда и воды заданы в градусах Цельсия).

Рассмотрим теперь процесс установления льда и воды с теми же начальными температурами и такими массами, что после установления равновесия в сосуде останутся лед и вода с такими же массами. Такое возможно только в случае, когда температуры льда и воды равны температуре плавления льда \(T=0\,^\circ\)C. Поэтому в этом случае при установлении равновесия лед нагревается до температуры \(T=0\,^\circ\)C, но не плавится, а вода остывает до температуры \(T=0\,^\circ\)C, но не кристаллизуется. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид \[c_л m_л\,(T-T_л) = c_в m_в\,(T_в-T) \quad\Rightarrow\quad -c_л m_л T_л = c_в m_в T_в\] (аналогично (*) в последней формуле использовано, что температура плавления льда \(T=0\,^\circ\)C, и температуры необходимо задавать в градусах Цельсия). Отсюда с учетом найденных выше значений \(c_л T_л\) и \(c_в T_в\) находим \[\frac{m_л}{m_в} = \frac{n+1}{2n+1} .\]

Скорость верхней точки катушки равна скорости доски, нижняя точка не проскальзывает по полу. Найдите, на сколько укорачивается и удлиняется каждый участок нити за малое время \(\Delta t\).

\(v_{куба}=2{,}25\,v\), направлена вправо.

За малое время \(\Delta t\) доска переместилась на расстояние \(v\,\Delta t\). Тогда участки нити 1 и 2 (см. рисунок) удлинились на \(v\,\Delta t\). При этом скорость верхней точки катушки равна скорости доски (из-за отсутствия проскальзывания). А поскольку нижняя точка катушки не проскальзывает относительно земли, центр катушки переместился влево на \(v\,\Delta t/2\). При этом скорость точек внутренней части катушки (на которую намотана нить) относительно центра катушки равна \(v/4\) и направлена вправо. Поэтому с катушки смотается кусочек нитки длиной \(v\,\Delta t/4\), но из-за перемещения катушки на \(v\,\Delta t/2\) влево, для участка нити 3 потребуется дополнительный кусочек нити длиной \(v\,\Delta t/4\), на который укоротятся остальные участки нити. Таким образом, участок нити 0 за время \(\Delta t\) сократится на величину \[2v\,\Delta t + \frac{v\,\Delta t}{4} = 2{,}25\,v\,\Delta t ,\] что приведет к перемещению куба на эту величину. Поэтому его скорость будет равна \[v_{куба} = 2{,}25\,v\] и направлена вправо.