Росатом, 2020/21, заключительный этап, 9 класс

Подсказка

Сила упругости соседних пружин, прикрепленных к одному телу, не может отличаться больше, чем на максимальную силу трения. Как это ограничивает удлинения пружин от краев цепочки к середине?

Ответ

\(l_{max}=19\,l_0+100\,\dfrac{\mu m g}{k}\).

Решение

Чтобы тела находились в равновесии при растянутых пружинах, необходимо, чтобы силы упругости одной пружин, прикрепленных к одному телу, отличалась не более чем на максимальную силу трения, действующую на каждое тело. Поэтому для максимального растяжения пружин (чтобы максимальной была длина всей цепочки) получим \[F_{упр,1}-F_{упр,2} = k\,(\Delta x_1-\Delta x_2) = \mu m g ,\] где \(\Delta x_1\) и \(\Delta x_2\) — удлинения двух соседних пружин. Поэтому максимальные удлинения крайних пружин равны \[\Delta x = \frac{\mu m g}{k} ,\] вторых от краев пружин — \(2\Delta x\), третьих — \(3\Delta x\) и т.д. (см. рисунок)

Так у нас 20 тел, их соединяют — 19 пружин, т.е. 9 пар плюс одна пружина. Поэтому максимальное удлинение цепочки можно найти так \[\Delta l = 2\left(\Delta x + 2\Delta x + 3\Delta x + \dots + 9\Delta x\right) + 10\Delta x .\] Используя далее формулу для суммы \(N\) целых чисел \[1+2+3+\dots+N = \frac{N(N+1)}{2}\] найдем максимальное удлинение цепочки пружин \[\Delta l = 90\,\Delta x + 10\,\Delta x = 100\,\Delta x .\] Отсюда находим максимальную длину цепочки пружин \[l = 19\,l_0 + 100\,\frac{\mu m g}{k} .\]

Подсказка

Перейдите в систему отсчета, связанную с водой: в ней волна расходится из точки А с одинаковой скоростью во всех направлениях, а город В на другом берегу движется.

Ответ

\(t=\dfrac{l}{\sqrt{15}\,v}\).

Решение

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с водой. В этой системе отсчета волны на поверхности имеют форму полукругов и распространяются со скоростью \(4v\) в любом направлении. А вот город В движется в противоположную течению сторону со скоростью \(v\). Поэтому волна придет в город В в такой момент времени \(t\), когда расстояние от начального положения города В до его положения в этот момент (точка В’ на рисунке) будет вчетверо меньше расстояния от начального положения точки А до города В в момент прихода туда волны (расстояние АВ’; см. рисунок). Отсюда находим \[l = \sqrt{16v^2t^2 - v^2t^2} = \sqrt{15}\,vt ,\] или \[t = \frac{l}{\sqrt{15}\,v} .\] (конечно, можно было решить задачу и в системе отсчета, связанной с землей, но тогда скорость волны пришлось бы находить по закону сложения скоростей).

Подсказка

Амперметры идеальные, поэтому их можно заменить проводниками и увидеть, как соединены резисторы. Учтите, что направление тока через второй амперметр не задано.

Ответ

\(x_1=\dfrac{2}{3}\,r\) или \(x_2=6r\).

Решение

Пусть ток в цепи течет слева направо. Поскольку нам не задано направление тока, который показывает второй амперметр, необходимо рассмотреть две возможности: ток по центральному проводнику цепи, данной в условии, течет сверху вниз, и ток по центральному проводнику течет снизу вверх.

Так как амперметры идеальные, то данная электрическая цепь эквивалентна цепи, схема которой приведена на рисунке, причем показания первого амперметра — это ток в цепи, второго — какой ток перетекает из верхней ветви левого участка цепи в нижнюю ветвь правого участка, или наоборот. Поэтому показания второго амперметра меньше показаний первого.

Пусть первый амперметр показывает ток \(I\), неизвестное сопротивление равно \(x\) (см. рисунок). Тогда поскольку резисторы левого участка одинаковы, в его верхней и нижней ветви текут одинаковые токи \(I/2\). Если ток течет по центральному проводнику схемы, данной в условии, вниз, то в правом участке цепи текут такие токи: в верхней ветви \[I_в = \frac{I}{2} - nI = \frac{(1-2n)}{2}\,I ,\] а в нижней ветви \[I_н = \frac{I}{2} + nI = \frac{(1+2n)}{2}\,I .\] А поскольку из закона Ома для участка цепи следует, что \(I_в\,2r = I_н\,x\), то \[x = \frac{I_в}{I_н}\,2r = \frac{1-2n}{1+2n}\,2r = \frac{2}{3}\,r .\] Если по центральному проводнику цепи, данной в условии, ток течет снизу вверх, то \[x = \frac{1+2n}{1-2n}\,2r = 6r .\] Таким образом получаем два ответа для неизвестного сопротивления \[x_1 = \frac{1-2n}{1+2n}\,2r = \frac{2}{3}\,r , \qquad x_2 = \frac{1+2n}{1-2n}\,2r = 6r .\]

Подсказка

Тень сначала движется против направления броска, затем поворачивает. Разбейте путь тени на два участка и для каждого используйте законы равноускоренного движения.

Ответ

\(S_{тени}=\dfrac{v^2}{g}\left(\sin^2\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta+\cos^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\right)\).

Решение

Очевидно, в момент броска тень находится в точке броска, в момент падения — в точке падения тела на землю. Поскольку угол, под которым падают солнечные лучи, меньше угла, под которым бросили тело, тень будет двигаться противоположно движению тела (влево на рисунке в условии), а только затем вправо. Поэтому пройденный тенью путь будет равен сумме удвоенной длины пути тени от точки бросания до самой левой точки и длины пути тени от точки бросания до конечной точки. Найдем эти пути. Для этого воспользуемся законами равноускоренного движения тела.

Выберем ось \(x\) системы координат перпендикулярно солнечным лучам. Тогда координата тени на земле (отсчитанная от точки бросания) определяется соотношением (см. рисунок): \[x_{тени} = \frac{x_{тела}}{\sin\beta} .\]

Поэтому координата тени максимальна (т.е. тень находится на максимальном расстоянии влево от точки бросания), если максимальна координата тела по оси \(x\). Но из законов равноускоренного движения следует, что эта координата определяется соотношением \[x_{тела,max} = \frac{v_x^2}{2\,|a_x|} ,\] где \(v_x\) и \(a_x\) — проекции начальной скорости и ускорения тела на ось \(x\) (ср. с формулой для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх \(h_{max}=v_0^2/2g\)). Поскольку \[v_x = v\sin(\alpha-\beta), \qquad a_x = -g\cos\beta ,\] получаем \[x_{тени,max} = \frac{v^2\sin^2(\alpha-\beta)}{2g\cos\beta\sin\beta} .\] Используя теперь формулу для дальности полета тела, брошенного под углом к горизонту, находим окончательно путь, пройденный тенью \[S_{тени} = 2x_{тени,max} + S = \frac{v^2\sin^2(\alpha-\beta)}{g\cos\beta\sin\beta} + \frac{2v^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} .\] С помощью формулы сложения аргументов синуса эту формулу можно представить по-другому: \[S_{тени} = \frac{v^2}{g}\left(\sin^2\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta+\cos^2\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta\right) .\]

Подсказка

Поскольку спица невесома и трения нет, спица не действует на муфту. Значит, муфта движется свободно, и нужно найти момент, когда спица перестает ее удерживать.

Ответ

\(v_c=\dfrac{1}{2}\sqrt{\sqrt{3}\,gL}\).

Решение

Поскольку спица невесома и отсутствует трение в шарнире, на спицу со стороны муфты не может действовать сила (в противном случае спица начала бы вращаться с бесконечной угловой скоростью). А это значит, что и спица не действует на муфту. Таким образом муфта должна падать по вертикали с ускорением свободного падения, а спица будет «подстраиваться» под движение муфты (см. рисунок; траектория муфты показана тонким пунктиром). А, следовательно, косинус угла наклона спицы к горизонту \(\alpha\) в момент соскальзывания муфты будет равен \[\cos\alpha = \frac{l}{L} ,\] а проекция скорости муфты на направление, перпендикулярное спице, и будет скоростью конца спицы в этот момент. Скорость муфты найдем по закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgh ,\] где \(h\) — длина участка траектории муфты до того момента, когда муфта соскользнет со спицы. Геометрически имеем \[h = L\sin\alpha = L\sqrt{1-\frac{l^2}{L^2}} = \sqrt{L^2-l^2} .\] Отсюда находим скорость муфты в этот момент \[v = \sqrt{2g\sqrt{L^2-l^2}} ,\] а затем и скорость конца спицы \[v_c = v\cos\alpha = \frac{l}{L}\sqrt{2g\sqrt{L^2-l^2}} = \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{3}\,gL} .\]