Росатом, 2021/22, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Какие лягушки встретятся на пути? Сколько времени плывёт лягушка против течения и сколько — по течению? Сравните с интервалом между стартами.

Ответ

\(N = \left[\dfrac{8S}{15\,u\,\Delta t}\right]\) лягушек (квадратные скобки — целая часть числа).

Решение

Рассмотрим лягушку, которая стартовала из болота A в некоторый момент времени. Очевидно, она встретит на своём пути всех лягушек, плывущих из болота B в болото A, которые к этому моменту не успели доплыть до болота A, и всех тех, которые стартуют из болота B, пока она не успела туда приплыть.

Любая лягушка, плывущая из болота B, тратит на переход время \[t_1 = \frac{S}{v - u} = \frac{S}{3u},\] а лягушка, плывущая из A в B, тратит на переход время \[t_2 = \frac{S}{v + u} = \frac{S}{5u}.\] Поэтому рассматриваемая лягушка встретит всех лягушек, которые стартовали из B в A в течение интервала времени \[t_1 + t_2 = \frac{S}{3u} + \frac{S}{5u} = \frac{8S}{15u}.\] А поскольку лягушки стартуют через интервалы времени \(\Delta t\), за это время успеют стартовать \[N = \left[\frac{8S}{15\,u\,\Delta t}\right]\] лягушек (\([\dots]\) — целая часть числа). Именно столько лягушек встречает на своём пути любая лягушка, плывущая из A в B.

Подсказка

Какие две силы натяжения могут совпадать? Рассмотрите, какая нить охватывает блок, и какие силы действуют на тело \(m_2\) в равновесии.

Ответ

\(m_1/m_2 = 2\).

Решение

Очевидно, друг с другом могут совпадать только сила натяжения нити, которой тело \(m_1\) привязано к оси блока, и сила натяжения нити, которой тело \(m_2\) привязано к потолку (и которая не охватывает блок). Действительно, сила натяжения нити, охватывающей блок, в два раза больше силы натяжения нити, привязанной к его оси, и потому они не могут совпадать. Кроме того, в равновесии разность сил натяжения нитей, прикреплённых к телу \(m_2\), должна компенсировать силу тяжести этого тела; поэтому эти силы натяжения также не совпадают.

Пусть совпадающие силы натяжения равны \(T\) (см. рисунок). Тогда условия равновесия блока и двух тел дают \[T_1 = \frac{T}{2}, \qquad T = m_1 g, \qquad T = m_2 g + T_1.\]

Отсюда находим \[\frac{m_1}{m_2} = 2.\]

Подсказка

Выразите мощности нагревателей через время и массу воды, а затем запишите тепловой баланс для двух нагревателей, работающих вместе.

Ответ

\(t = \dfrac{3t_1t_2}{t_2 + 2t_1} \approx 5{,}6\) мин.

Решение

Пусть мощность первого нагревателя равна \(w_1\), второго — \(w_2\). Тогда из условий нагревания объёма воды на \(\Delta T\) и \(2\Delta T\) имеем \[w_1 t_1 = cm\,\Delta T, \qquad w_2 t_2 = cm\cdot 2\Delta T.\] Отсюда находим мощности нагревателей \[w_1 = \frac{cm\,\Delta T}{t_1}, \qquad w_2 = \frac{cm\cdot 2\Delta T}{t_2}.\] Поэтому из условия теплового баланса для нагревания объёма воды на \(3\Delta T\) \[(w_1 + w_2)\,t = cm\cdot 3\Delta T,\] где \(t\) — искомое время, получим \[t = \frac{3t_1t_2}{t_2 + 2t_1} = 5{,}6\text{ мин}.\]

Подсказка

Какую горизонтальную скорость приобретает тело после отражения от дощечки под углом 45°? Как зависит от \(h\) время падения и пройденное по горизонтали расстояние?

Ответ

\(h = H/2\);  \(S_{BC}^{\max} = H\).

Решение

Когда тело долетит до дощечки, оно приобретёт скорость \(v\), которую можно найти по закону сохранения энергии: \[mg\,(H - h) = \frac{mv^2}{2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2g\,(H - h)}.\] После отражения от дощечки вертикальная составляющая скорости тела станет равна нулю, а горизонтальная будет равна \(v\) (так как дощечка наклонена под углом 45° к горизонту). Поэтому время падения тела на землю после удара \(t\) равно времени свободного падения без начальной скорости с высоты \(h\): \[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.\] Поскольку по горизонтали тело движется равномерно, расстояние BC определяется соотношением \[S_{BC} = vt = \sqrt{2g\,(H - h)}\,\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2\sqrt{h\,(H - h)}.\] Подкоренное выражение \(h(H - h)\) как функция переменной \(h\) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз, которая при \(h = 0\) или \(h = H\) принимает значение \(0\). Поэтому максимума она достигает при \(h = H/2\). Подставляя \(h = H/2\) в формулу для \(S_{BC}\), получаем \[S_{BC}^{\max} = H.\]

Подсказка

Сила Архимеда равна равнодействующей сил давления на всю поверхность тела. Какое вспомогательное тело с той же нижней поверхностью удобно рассмотреть?

Ответ

\(F = \dfrac{5}{3}\,\pi R^3 \rho g\), направлена вверх.

Решение

Вычислить силу, действующую на нижнюю часть шара, непосредственно суммируя силы, действующие на каждый малый элемент его поверхности, достаточно сложно, поскольку глубины элементов и их ориентации разные. Поэтому поступим по-другому: вместо шара рассмотрим находящийся в жидкости полушар, представляющий собой нижнюю половину нашего шара.

С одной стороны, на полушар в жидкости действует сила Архимеда \[F_A = \rho g V = \frac{2}{3}\pi R^3\rho g.\] С другой стороны, сила Архимеда, действующая на любое тело в жидкости, равна равнодействующей всех сил, действующих со стороны жидкости на элементы поверхности тела. Поэтому эта сила складывается из силы \(F\), действующей на нижнюю поверхность полушара (её мы ищем), и силы \(F_1\), действующей со стороны жидкости на его верхнюю плоскую поверхность: \[F_A = F - F_1.\] Последнюю силу легко вычислить. Замыкающий полушар круг находится на глубине \(R\), гидростатическое давление воды на этой глубине равно \(\rho g R\), и, следовательно, \[F_1 = \pi R^2\,\rho g R = \pi R^3 \rho g.\] Поэтому из выражения для \(F_A\) находим искомую силу, действующую со стороны воды на нижнюю половину шара: \[F = F_A + F_1 = \frac{2}{3}\pi R^3\rho g + \pi R^3\rho g = \frac{5}{3}\pi R^3\rho g.\]