Росатом, 2021/22, отборочный этап, 8 класс

Сравните пути, которые машины проехали до первой и до второй встречи. Что можно сказать об отношении времён?

\(AB = \dfrac{18\,l}{7}\).

Пусть расстояние \(AB\) равно \(x\). Сумма расстояний, пройденных машинами до первой встречи, равна \(x\), а до второй встречи (после разворотов) — \(3x\). Действительно, до второй встречи каждая машина доедет до второго города (в сумме \(2x\)) и проедет расстояние от него до места встречи другой машиной (в сумме \(x\)). Поэтому, если время до первой встречи машин — \(t\), до второй встречи — \(3t\), и, следовательно, каждая из машин прошла до второй встречи втрое большее расстояние, чем до первой.

Значит, машина, выехавшая из города А, пройдёт до второй встречи расстояние \(3l\). С другой стороны, это расстояние равно расстоянию между городами плюс расстоянию от города В до точки второй встречи: \[3l = x + \frac{3l}{7}.\] Отсюда \(x = \dfrac{18\,l}{7}\).

Запишите массу тела как сумму масс двух частей, а массу каждой части — как плотность, умноженную на объём.

\(\rho_2 = \dfrac{3}{2}\,\rho_1\).

Пусть объём всего тела равен \(V\), а плотность его второй части — \(\rho_2\). Тогда из условия имеем \[\rho_1\frac{V}{3} + \rho_2\frac{2V}{3} = 4\rho_1\frac{V}{3}.\] Решая это уравнение относительно \(\rho_2\), получаем \[\rho_2 = \frac{3}{2}\rho_1.\]

Одинаковые пружины, соединённые параллельно, делят силу поровну. Найдите удлинение каждой группы пружин и сложите их.

\(F = \dfrac{9}{11}\,kl\).

Пусть к концу последней пружины приложена сила \(F\). Тогда, чтобы система пружин была в равновесии, сила упругости одиночной пружины будет равна \(F\), каждой из двух параллельных пружин — \(F/2\), каждой из трёх параллельных пружин — \(F/3\). Поэтому одиночная пружина растянута на \[\Delta l_1 = \frac{F}{k},\] две параллельные пружины — на \[\Delta l_2 = \frac{\Delta l_1}{2} = \frac{F}{2k},\] три параллельные пружины — на \[\Delta l_3 = \frac{\Delta l_1}{3} = \frac{F}{3k}.\] Поэтому удлинение системы пружин равно \[\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 + \Delta l_3 = \frac{F}{k} + \frac{F}{2k} + \frac{F}{3k} = \frac{11F}{6k}.\] Система растянется в \(3/2\) раза, если удлинение составит половину длины нерастянутой системы, т.е. \(0{,}5\cdot 3l = \dfrac{3}{2}\,l\). Отсюда \[\frac{11F}{6k} = \frac{3}{2}l \quad\Rightarrow\quad F = \frac{9}{11}\,kl.\]

Деформируйте соединительные провода так, чтобы точки, соединённые проводами без сопротивления, стали одной точкой. Какие резисторы окажутся между двумя узлами?

\(R_{\text{об}} = \dfrac{4R}{7}\).

С помощью деформации соединительных проводов данную электрическую цепь можно преобразовать к такому виду, когда очевидно, что резисторы соединены параллельно. Поэтому общее сопротивление цепи находим по правилам нахождения сопротивления при параллельном соединении: \[\frac{1}{R_{\text{об}}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} + \frac{1}{4R} = \frac{7}{4R}.\] Отсюда находим \[R_{\text{об}} = \frac{4R}{7}.\]

Натяжение верёвки, охватывающей блок, вдвое меньше веса груза \(m\). Затем запишите правило моментов для верхнего рычага, а потом для нижнего.

\(m = \dfrac{5}{13}\,M\).

В равновесии сила натяжения верёвки, охватывающей блок, равна половине силы тяжести груза массой \(m\). Поэтому на левые концы рычагов действует одинаковая сила \[F = \frac{mg}{2}.\] Для обеспечения равновесия верхнего рычага сила натяжения \(T\) нити, связывающей рычаги, должна быть такой, чтобы выполнялось равенство \[Tl = \frac{mg}{2}\,5l \quad\Rightarrow\quad T = \frac{5}{2}\,mg,\] где \(l\) — длина куска верхнего рычага от левого конца до опоры.

На левый конец нижнего рычага действует сила \(T\), направленная вертикально вверх, и сила натяжения нити, привязанной к телу \(M\), направленная вертикально вниз. Поэтому нижний рычаг будет в равновесии, если выполнено условие \[(Mg - T)\,5l_1 = \frac{mg}{2}\,l_1,\] где \(l_1\) — длина куска нижнего рычага от правого конца до точки опоры. Отсюда находим \[m = \frac{5M}{13}.\]