Росатом, 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Дальность полёта одинакова для двух углов, которые дополняют друг друга до \(90^\circ\). Сравните времена полёта.

Ответ

\(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}\), т.е. \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2}\).

Решение

Дальность полёта тела, брошенного с начальной скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha\) к горизонту, \[l = \frac{2 v_0^2 \sin\alpha\cos\alpha}{g}.\] Чтобы дальности полёта для углов \(\alpha\) (первое тело) и \(\beta\) (второе тело) совпадали, нужно \(\alpha = \dfrac{\pi}{2} - \beta\).

Времена полёта: \[t = \frac{2 v_0\sin\alpha}{g}, \qquad 2t = \frac{2 v_0\sin\beta}{g} = \frac{2 v_0\cos\alpha}{g}.\] Деля эти формулы друг на друга, получаем \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{2}\).

Подсказка

Короткий импульс силы сообщает телу скорость, а само тело за это время не успевает сместиться. Какой минимальной скорости в верхней точке достаточно, чтобы нить оставалась натянутой?

Ответ

\(E_{\min} = \dfrac{m\sqrt{5gl}}{q\,\tau}\).

Решение

За время включения поля тело получает горизонтальную скорость, найденную из второго закона Ньютона (импульс силы): \[v = \frac{qE\tau}{m}.\] В верхней точке на тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити, направленные вниз. Минимальная скорость, при которой тело ещё проходит верхнюю точку по окружности, отвечает случаю натяжения \(T = 0\): \[m\,\frac{v_1^2}{l} = mg \quad\Rightarrow\quad v_1 = \sqrt{gl}.\] По закону сохранения энергии минимальная скорость в нижней точке \[\frac{m v^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2} + 2mgl \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{5gl}.\] Отсюда \[E_{\min} = \frac{m\sqrt{5gl}}{q\,\tau}.\]

Подсказка

Количество теплоты на изобаре зависит только от изменения температуры, а на изотерме равно работе газа. Сравните работы на двух изотермах.

Ответ

\(\eta = \dfrac{4}{9} \approx 44\%\).

Решение

Пусть на участке 2-3 газ получил количество теплоты \(Q_{2-3} = Q\). По условию на участке 1-2 он получил \(Q_{1-2} = \dfrac{Q}{2}\). Поскольку количество теплоты в изобарическом процессе определяется только разностью температур, на участке 3-4 газ получил \(Q_{3-4} = -\dfrac{Q}{2}\).

На изотермах внутренняя энергия не меняется, поэтому \(Q = A\) на каждом из них. Работа на изотерме 4-1 в три раза меньше по модулю и противоположна по знаку работе на изотерме 2-3: температуры отличаются втрое, а объёмы при каждом давлении — тоже втрое, поэтому \(A_{2-3} = A\), \(A_{4-1} = -\dfrac{A}{3}\). Отсюда \(Q_{4-1} = -\dfrac{Q}{3}\).

Работа газа за цикл \[A_{\text{цикл}} = Q_{1-2} + Q_{2-3} + Q_{3-4} + Q_{4-1} = \frac{2}{3}\,Q .\] Количество теплоты, полученное от нагревателя, — это теплота, полученная на участках 1-2 и 2-3: \[Q_{\text{н}} = \frac{1}{2}Q + Q = \frac{3}{2}\,Q .\] КПД цикла \[\eta = \frac{A_{\text{цикл}}}{Q_{\text{н}}} = \frac{4}{9} \approx 44\%.\]

Подсказка

Колечко невесомо, поэтому верхняя нить всё время вертикальна. Какие величины сохраняются в горизонтальном направлении и во всей системе?

Ответ

\(v = \sqrt{6gl}\).

Решение

Поскольку масса колечка очень мала, сумма сил, действующих на него, равна нулю в любой момент, а верхняя нить вертикальна. Скорости верхнего тела и колечка в любой момент одинаковы, а среднее тело (масса \(2m\)) движется горизонтально.

Минимальная скорость \(v\) отвечает ситуации, когда вертикальная составляющая скорости нижнего тела в момент подъёма на одну высоту со средним тело равна нулю. Внешних горизонтальных сил нет, поэтому сохраняется горизонтальный импульс: \[2m\,v = 3m\,v_1 \quad\Rightarrow\quad v_1 = \frac{2}{3}\,v ,\] где \(v_1\) — скорость нижнего и среднего тел в момент, когда нижнее тело поднялось на одну высоту со средним.

Закон сохранения энергии даёт \[\frac{2m\,v^2}{2} = \frac{m\,v_1^2}{2} + \frac{2m\,v_1^2}{2} + 2mgl ,\] откуда \(v = \sqrt{6gl}\).

Подсказка

Проекция уравнения движения на направление, перпендикулярное отрезку, даёт связь между скоростью частицы и её смещением. Запишите закон сохранения энергии для системы зарядов.

Ответ

\(B_{\min} = 4\sqrt{\dfrac{km}{l^3}}\), где \(k\) — коэффициент в законе Кулона; частицы сближаются до расстояния \(\dfrac{l}{2}\).

Решение

Кулоновское притяжение сближает частицы, и их скорости растут; магнитная составляющая силы Лоренца поворачивает скорости. Если поле достаточно сильное, скорости станут параллельны друг другу, и магнитная сила уравновесит кулоновское притяжение.

Пусть \(x\) — смещение частицы \(+q\) вдоль оси \(x\) (перпендикулярно отрезку, соединяющему частицы), ось \(y\) — вдоль отрезка. Проекция второго закона Ньютона на ось \(y\) даёт \(m a_y = q v_x B\). Умножая это уравнение на малые промежутки времени и суммируя, получаем связь \[m v_y = q B x .\] (Для отрицательно заряженной частицы связь аналогична.) В точке максимального сближения скорости направлены по оси \(y\), и \(v_y = v\).

Закон сохранения энергии для системы двух частиц (каждая смещена на \(x\)): \[m v^2 = \frac{k q^2}{l - 2x} - \frac{k q^2}{l} = \frac{2 k q^2 x}{l\,(l - 2x)} .\] Подставляя \(v\) в связь \(m v = qBx\), получаем \[B^2 = \frac{2 k m}{l\,x\,(l - 2x)} ,\] что приводится к квадратному уравнению относительно \(x\): \[x^2 - \frac{l}{2}\,x + \frac{k m}{l B^2} = 0 .\] Решение существует, если дискриминант неотрицателен: \[\frac{l^2}{16} \ge \frac{k m}{l B^2} \quad\Rightarrow\quad B \ge 4\sqrt{\frac{k m}{l^3}} .\] Минимальная индукция \[B_{\min} = 4\sqrt{\frac{k m}{l^3}} ,\] и при ней \(x = \dfrac{l}{4}\), так что частицы сближаются до расстояния \[l - 2x = \frac{l}{2} .\] При большей индукции скорости станут параллельными при меньшем \(x\), и частицы начнут расходиться, а затем снова сблизятся.