Росатом, 2021/22, заключительный этап, 11 класс

Ответ

\(H' = 40\) м.

Решение

Незнайка подбросил камень на высоту \(H\) при ускорении \(g\), значит начальная скорость по закону сохранения энергии \(v_0^2 = 2gH\).

На высоте \(h\) скорость найдём также из закона сохранения энергии (до этой высоты ускорение равно \(g\)): \[v_1^2 = v_0^2 - 2gh = 2g(H-h).\] Выше \(h\) тело движется с ускорением \(g/3\), поэтому дополнительная высота подъёма \[h_1 = \frac{v_1^2}{2\cdot g/3} = 3(H-h).\] Полная высота подъёма над поверхностью земли \[H' = h + h_1 = h + 3(H-h) = 3H - 2h = 40~\text{м}.\]

Ответ

\(p = p_1 + \rho g h\,\dfrac{h_2}{h_1+h_2}\).

Решение

Пусть \(p_2\) — давление воздуха под поршнем в начальном состоянии, \(V_1 = Sh_1\) и \(V_2 = Sh_2\) — объёмы воздуха над водой и под поршнем, \(\nu_1\) и \(\nu_2\) — количества вещества в этих объёмах. Закон Клапейрона–Менделеева для них: \[p_1 V_1 = \nu_1 RT, \qquad p_2 V_2 = \nu_2 RT.\] Условие равновесия поршня в начальном состоянии (поршень невесомый, на него давит столб воды высотой \(h\)): \[p_2 = p_1 + \rho g h.\] После просачивания вся вода ушла вниз, воздух занимает весь объём \(V_1 + V_2\) и имеет давление \(p\). Закон Клапейрона–Менделеева для всего воздуха: \[p\,(V_1+V_2) = (\nu_1+\nu_2)RT.\] Выражая \(\nu_1\) и \(\nu_2\) из первых двух уравнений и подставляя в третье, получаем \[p = \frac{p_1 h_1 + p_2 h_2}{h_1+h_2} = p_1 + \rho g h\,\frac{h_2}{h_1+h_2}.\]

Ответ

Траектория — парабола. При возвращении на первоначальный уровень скорость тела вертикальна, направлена вниз и по модулю равна \(v_0\sin\alpha\), где \(v_0\) — начальная скорость тела (горка в начальный момент покоится).

Решение

На тело действуют постоянные силы (сила тяжести и сила реакции горки), поэтому его ускорение постоянно и движение равноускоренное. Так как начальная скорость и ускорение тела не параллельны, траектория — парабола.

На подъём и на спуск тело тратит одинаковое время \(t\), которое определяется начальной вертикальной составляющей скорости \(v_0\sin\alpha\) и вертикальной составляющей ускорения \(a_{\text{верт}}\): \(t = v_0\sin\alpha / a_{\text{верт}}\). Вертикальная составляющая скорости тела в момент возвращения равна по величине и противоположна по направлению начальной вертикальной составляющей, т.е. \(v_{\text{к,верт}} = -v_0\sin\alpha\).

В верхней точке траектории скорости тела и горки одинаковы. Так как массы тела и горки равны, по закону сохранения горизонтальной составляющей импульса системы «тело+горка» эта скорость равна половине горизонтальной составляющей начальной скорости тела. Значит, изменение горизонтальной составляющей импульса тела до верхней точки равно половине её начального значения, и в момент возвращения на первоначальный горизонтальный уровень горизонтальная составляющая скорости тела равна нулю. Поэтому в момент падения на горизонтальную поверхность скорость тела вертикальна и равна по величине \(v_0\sin\alpha\).

Ось симметрии параболы параллельна вектору ускорения тела относительно земли. Горизонтальные составляющие ускорений тела и горки относительно земли равны по модулю (их создаёт одна и та же сила реакции, массы равны). В системе отсчёта горки горизонтальное ускорение тела вдвое больше, а его ускорение направлено вдоль грани горки. Отсюда ось симметрии параболы наклонена к горизонту под углом \(\theta\), для которого \[\operatorname{tg}\theta = 2\operatorname{tg}\alpha.\]

Ответ

\(T_{2l} = \dfrac{4}{\sqrt{31}}\,mg\) (нить длиной \(2l\));  \(T_{l} = \dfrac{2}{\sqrt{31}}\,mg\) (нить длиной \(l\)).

Решение

На стержень действуют силы натяжения нитей \(T_1\), \(T_2\) и сила тяжести \(mg\), приложенная к центру стержня (стержень однородный). Пусть \(\theta_A\) — угол между нитью длиной \(l\) и стержнем у его конца \(A\), \(\theta_B\) — угол между нитью длиной \(2l\) и стержнем у конца \(B\). Условие равенства моментов сил относительно центра стержня даёт \[T_l\sin\theta_A = T_{2l}\sin\theta_B.\] С другой стороны, по теореме синусов для треугольника, образованного нитями и стержнем, \[\frac{2l}{\sin\theta_A} = \frac{l}{\sin\theta_B}.\] Деля эти соотношения, получаем \(T_{2l} = 2T_l\), т.е. силы натяжения пропорциональны длинам нитей: \(T_{2l} = k\cdot 2l\), \(T_l = k\cdot l\).

Из условия равновесия \(m\vec g + \vec T_1 + \vec T_2 = 0\) модуль суммы сил натяжения равен \(mg\). Угол между нитями у точки подвеса \(\varphi\) по теореме косинусов для треугольника «нити–стержень» (стороны \(l\), \(2l\) и \(3l/2\)) удовлетворяет \[\left(\frac{3}{2}l\right)^2 = l^2 + 4l^2 - 4l^2\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi = \frac{11}{16}.\] Поэтому \[m^2g^2 = T_l^2 + T_{2l}^2 + 2T_lT_{2l}\cos\varphi = k^2l^2\left(1 + 4 + 4\cdot\frac{11}{16}\right) = \frac{31}{4}\,k^2l^2,\] откуда \(k = \dfrac{2mg}{\sqrt{31}\,l}\). Отсюда \(T_{2l} = \dfrac{4}{\sqrt{31}}mg\), \(T_l = \dfrac{2}{\sqrt{31}}mg\).

Ответ

\(r = \sqrt{3}\,R\).

Решение

Сопротивление провода пропорционально его длине, а длина пропорциональна радиусу (число витков и длина соленоидов одинаковы). Поэтому сопротивление меньшего соленоида втрое меньше, и при параллельном соединении ток в нём втрое больше, чем в большем соленоиде. Пусть \(I\) — ток в большем соленоиде, \(n\) — число витков на единицу длины. Тогда внутри малого соленоида \(B_1 = \mu_0 n\cdot 4I\), а в пространстве между соленоидами \(B_2 = \mu_0 nI\).

Из-за осевой симметрии центр окружности частицы лежит на общей оси. Магнитный поток через окружность радиуса \(r\) (где \(R<r<3R\)): \[\Phi = \pi R^2\cdot 4\mu_0 nI + \pi\,(r^2 - R^2)\,\mu_0 nI = \pi\mu_0 nI\,(r^2 + 3R^2).\] Вихревое электрическое поле на окружности касательно к ней и одинаково по модулю во всех точках, поэтому ЭДС индукции равна \(2\pi r E\). Закон электромагнитной индукции с учётом \(dI/dt = \alpha/x\), где \(x\) — сопротивление большего соленоида (ток \(I = U/x = \alpha t/x\)), даёт \[2\pi r E = \pi\mu_0 n\,\frac{\alpha}{x}\,(r^2+3R^2), \qquad a_\tau = \frac{qE}{m} = \frac{\mu_0 n\alpha q\,(r^2+3R^2)}{2rxm}.\] Так как ускорение постоянно по модулю, скорость частицы \[v = a_\tau t = \frac{\mu_0 n\,\alpha t\,q\,(r^2+3R^2)}{2rxm} = \frac{\mu_0 n I q\,(r^2+3R^2)}{2rm}.\] С другой стороны, частица движется по окружности радиуса \(r\) в магнитном поле \(B_2 = \mu_0 nI\): \(\dfrac{mv^2}{r} = qvB_2\), откуда \(r = \dfrac{mv}{qB_2}\). Подставляя скорость, \[r = \frac{r^2 + 3R^2}{2r}\quad\Rightarrow\quad r^2 = 3R^2, \qquad r = \sqrt{3}\,R.\]