Росатом, 2022/23, отборочный этап, 10 класс

Запишите показания вольтметра в обоих случаях через сопротивления и напряжение источника и сравните их.

\(r/R = 1/4\), где \(r\) — сопротивление резистора, \(R\) — сопротивление вольтметра.

Пусть сопротивление резистора \(r\), сопротивление вольтметра \(R\). В первом случае ток в цепи и показания вольтметра: \[I_1 = \frac{U\,(r + R)}{2rR + r^2}, \qquad U_{V,1} = I_1\,\frac{rR}{r + R} = \frac{U\,rR}{2Rr + r^2}.\] Во втором случае \[I_2 = \frac{U}{2r + R}, \qquad U_{V,2} = I_2 R = \frac{U R}{2r + R}.\] Поэтому \[\frac{U_{V,2}}{U_{V,1}} = \frac{3}{2} = \frac{2rR + r^2}{rR + 2r^2}.\] Отсюда \(\dfrac{r}{R} = \dfrac{1}{4}\).

В обоих опытах тела обмениваются теплом без потерь. Сначала найдите отношение теплоёмкостей тел из первого опыта.

\(t_x = 2t\,\text{°C}\).

Пусть теплоёмкость первого тела \(C_1\), второго — \(C_2\). Уравнение теплового баланса после нагрева первого тела: \[C_1(5t - 4t) + C_2(t - 4t) = 0,\] откуда \(C_1 = 3C_2\).

Во втором опыте второе тело нагрето до \(5t\), первое имеет температуру \(t\). Уравнение теплового баланса с установившейся температурой \(t_x\): \[C_1(t_x - t) + C_2(t_x - 5t) = 0 .\] Используя \(C_1 = 3C_2\), получаем \(t_x = 2t\).

Запишите законы изменения скорости обоих тел за одно и то же время от начала ускорения до встречи. Какое тело в момент встречи движется быстрее?

\(v_0 = \dfrac{(a_2 - 2a_1)\,v}{a_2 - a_1}\);  \(l = \dfrac{v^2}{2\,(a_2 - a_1)}\).

Пусть скорость тел в момент начала ускорения равна \(v_0\), а время от этого момента до встречи — \(t\). Законы изменения скоростей: \[v = v_0 + a_1 t, \qquad 2v = v_0 + a_2 t\] (учтено, что скорость заднего тела, имеющего большее ускорение, больше). Из системы \[v_0 = \frac{(a_2 - 2a_1)\,v}{a_2 - a_1}, \qquad t = \frac{v}{a_2 - a_1}.\] Так как скорости тел в момент встречи отличаются вдвое, то \(a_2 > 2a_1\) (иначе скорости не могли бы в один момент отличаться в 2 раза). Начальное расстояние между телами равно разности путей, пройденных телами до встречи: \[l = \frac{(a_2 - a_1)\,t^2}{2} = \frac{v^2}{2\,(a_2 - a_1)}.\]

Пока шар плавает, его погружённый объём растёт на тот же объём, что и вошедшая в шар вода. Что меняется в сосуде, когда шар перестаёт плавать?

(а) уровень понизится на \(\Delta h = R/18\); (б) уровень понизится на \(\Delta h_1 = 2R/9\) (от начального уровня).

Пусть масса шара \(m\). Условие плавания: \(mg = \rho g\,\dfrac{2V}{3}\), где \(\rho\) — плотность воды, \(V\) — объём шара. Пусть в шар вошёл объём воды \(V_1\), шар ещё плавает. Тогда \[(m + \rho V_1)\,g = \rho g\left(\frac{2V}{3} + \Delta V\right),\] где \(\Delta V\) — увеличение объёма погружённой части шара. Отсюда \(\Delta V = V_1\): объём вошедшей в шар воды равен увеличению погружённого объёма. Пока шар плавает, уровень воды в сосуде не меняется. Шар утонет, когда водой заполнится более одной трети его объёма. После этого объём воды в сосуде плюс объём погружённой части шара уменьшается на объём воды, вошедшей в шар.

При заполнении половины шара водой этот объём уменьшается на \[\frac{1}{2}V - \frac{1}{3}V = \frac{1}{6}\cdot\frac{4\pi R^3}{3} = \frac{2\pi R^3}{9}.\] Понижение уровня \(\Delta h\) найдём из \(\pi (2R)^2\,\Delta h = \dfrac{2\pi R^3}{9}\): \[\Delta h = \frac{R}{18}.\] Когда шар полностью заполнится водой, уровень понизится на \(\Delta h_1 = \dfrac{2}{9}R\).

Опрокидывание — это условие на момент сил относительно нижнего правого ребра верхнего кубика. Скольжение — сравнение сдвигающей силы с максимальной силой трения.

Скольжение верхнего кубика при \(\mu < \dfrac{1}{2 + \tg\alpha}\); опрокидывание при \(\mu \ge \dfrac{1}{2 + \tg\alpha}\).

Сила натяжения нити \(T = \dfrac{F}{2\cos\alpha}\).

Чтобы верхний кубик опрокинулся, момент силы натяжения относительно правого нижнего ребра верхнего кубика должен быть не меньше момента силы тяжести, которая приложена к его центру: \[T a\cos\alpha \ge Mg\,\frac{a}{2} \quad\Rightarrow\quad F \ge Mg \qquad (a \text{ — ребро кубика}).\] Условие скольжения: сдвигающая сила \(T\cos\alpha\) должна быть не меньше максимальной силы трения покоя \(\mu N\), где \(N = Mg + T\sin\alpha = Mg + \dfrac{F\sin\alpha}{2\cos\alpha}\). Отсюда \[F \ge \frac{2\mu M g}{1 - \mu\tg\alpha}.\] Кубик начнёт скользить, если это неравенство выполнится раньше, чем \(F \ge Mg\). Поэтому опрокидывание происходит при \[\frac{2\mu M g}{1 - \mu\tg\alpha} \ge Mg \quad\Leftrightarrow\quad 2\mu \ge 1 - \mu\tg\alpha \quad\Leftrightarrow\quad \mu \ge \frac{1}{2 + \tg\alpha}.\] При \(\mu < \dfrac{1}{2 + \tg\alpha}\) верхний кубик будет скользить.