зад 1 Смесь воды и спирта
Известно, что при смешивании одинаковых объемов воды и спирта объем смеси уменьшается на \(5\%\) по сравнению с суммой объемов компонент. Найти плотность смеси одинаковых объемов спирта и воды, если плотность воды \(\rho_0 = 1\) г/см\(^3\), плотность спирта \(\rho_1 = 0{,}8\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность — отношение массы к объему; объем смеси меньше суммы объемов на 5 %.
▶ОтветСкрыть
\(\rho \approx 0{,}947\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть
Пусть смешали объемы \(v\) воды и спирта. Масса смеси \(M = \rho_0 v + \rho_1 v = 1{,}8\,v\), объем смеси \(V = 2v - 0{,}05\cdot 2v = 1{,}9\,v\). Плотность смеси \[\rho = \frac{M}{V} = \frac{1{,}8}{1{,}9} \approx 0{,}947~\text{г/см}^3.\]
зад 2 Поезд на мосту
По длинному мосту равномерно едет поезд. Известно, что поезд находился на мосту в течение времени \(t_1 = 120\) с, а мимо обходчика пути, стоящего около начала моста, поезд проезжал в течение времени \(t_2 = \dfrac{t_1}{3}\) с. Какое время ехал по мосту человек, сидящий в купе шестого вагона? Во сколько раз длина моста больше длины поезда?
▶ПодсказкаСкрыть
Время нахождения на мосту пассажира равно разности времен прохождения моста поездом и поезда мимо обходчика.
▶ОтветСкрыть
\(80\) с; длина моста в \(2\) раза больше длины поезда.
▶РешениеСкрыть
Пусть \(L\) — длина моста, \(l\) — длина поезда, \(v\) — скорость поезда. Время нахождения поезда на мосту (от въезда локомотива до съезда последнего вагона): \[t_1 = \frac{L+l}{v}.\] Время, за которое поезд проезжает мимо обходчика: \(t_2 = \dfrac{l}{v}\). Вычитая, найдем время нахождения на мосту любого пассажира: \(t = t_1 - t_2 = \dfrac{2t_1}{3} = 80\) с. Деля первое уравнение на второе, \(\dfrac{L+l}{l} = 3\), т.е. \(L = 2l\): длина моста в 2 раза больше длины поезда.
зад 3 Отрезание слоёв от куба
Имеется сплошной куб с ребром \(a = 6\) см и массой \(M = 216\) г. От куба отрезают тонкие слои толщиной \(h = 1\) см, параллельные каждой грани. Последовательность граней, от которых отрезают слои — 1-2-3-4-5-6 (см. рисунок). Чему равна масса пятого отрезанного слоя? Чему равна масса оставшейся после всех отрезов части куба?
▶ПодсказкаСкрыть
Плотность куба постоянна; масса слоя пропорциональна его объему. Найдите размеры слоя после каждого отреза.
▶ОтветСкрыть
\(m_5 = 20\) г; \(m_{\text{ост}} = 64\) г.
▶РешениеСкрыть
Каждый отрезанный слой уменьшает размеры куба по соответствующим направлениям на \(h\). Размеры отрезаемых слоев последовательно уменьшаются. Пятый отрезанный слой имеет размеры \((a-2h)\times(a-h)\times h\). Его масса во столько же раз меньше массы куба, во сколько раз его объем меньше объема куба: \[m_5 = \frac{(a-2h)(a-h)h}{a^3}\,M = 20~\text{г}.\] После отрезания слоя от шестой грани остается куб с ребром \(a-2h\), его масса \[m_{\text{ост}} = \frac{(a-2h)^3}{a^3}\,M = 64~\text{г}.\]
зад 4 Две лодки на реке
На берегу реки находятся деревни А и В (А — ниже по течению). Утром из А в В отправилась лодка 1, и одновременно из В в А лодка 2. Лодки встретились посередине отрезка АВ и продолжили движение до городов В (лодка 1) и А (лодка 2). Вечером одновременно лодки поплыли назад и встретились, когда лодка 2 проплыла третью часть пути до В. Найти скорость лодки 2, если скорость лодки 1 в стоячей воде \(v_1 = 20\) км/ч. Моторы лодок и в первом, и во втором случаях работают одинаково.
▶ПодсказкаСкрыть
Скорость лодки относительно берега равна сумме или разности собственной скорости и скорости течения. Составьте уравнения времени для утреннего и вечернего заплывов.
▶ОтветСкрыть
\(v_2 = \dfrac{5}{7}\,v_1 \approx 14{,}3\) км/ч.
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость лодки 2 в стоячей воде \(v_2\), скорость течения реки \(u\), \(l\) — расстояние между городами. Относительно берега скорость лодки по течению складывается с течением, против течения вычитается. Для утреннего и вечернего заплывов \[\frac{l}{2(v_1-u)} = \frac{l}{2(v_2+u)}, \qquad \frac{l}{3(v_2-u)} = \frac{2l}{3(v_1+u)}.\] Отсюда \[\begin{cases} v_2 + u = v_1 - u,\\ v_1 + u = 2v_2 - 2u,\end{cases}\] и \(v_2 = \dfrac{5}{7}v_1 = 14{,}3\) км/ч.
зад 5 Тело на блоках
Через блоки переброшена веревка, один конец которой закреплен на полу, второй тянут вверх со скоростью \(v\). К оси левого блока прикреплено тело. Найти скорость тела, если правый блок перемещают вниз со скоростью \(2v\). Куда направлена эта скорость? Нити нерастяжимы.
▶ПодсказкаСкрыть
Выразите изменения длин участков веревки через скорости её концов и блоков; сумма изменений длин равна нулю.
▶ОтветСкрыть
\(\dfrac{3}{2}\,v\), направлена вниз.
▶РешениеСкрыть
Пусть скорость левого блока (и тела) направлена вниз и равна \(v_1\) (если направление выбрано неверно, ответ получится отрицательным). Изменения длин участков веревки: \[\Delta AB = (v+v_1)\Delta t, \qquad \Delta CD = (v_1-2v)\Delta t, \qquad \Delta EF = -2v\,\Delta t.\] Веревка нерастяжима, поэтому сумма изменений равна нулю: \((v+v_1) + (v_1-2v) - 2v = 0\), откуда \(v_1 = \dfrac{3}{2}v\). Скорость положительна, значит, направление выбрано верно: тело движется вниз.
Источник: Олимпиада «Росатом» по физике, 2022/23, отборочный этап, 7 класс — условия · решения. Задачи перенабраны на botay.pro, решения — по официальным.