Росатом, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Выразите сопротивление через удельное сопротивление, длину и площадь сечения, а длину — через массу, плотность и площадь сечения.

\(R_1/R_2 = 1/162\).

Исходим из формулы сопротивления \(R\) цилиндрического проводника длиной \(l\) с площадью поперечного сечения \(S\): \[R = \frac{\rho_0 l}{S},\] здесь \(\rho_0\) — удельное сопротивление проводника. С другой стороны, длина и площадь поперечного сечения связаны с массой проводника \(m\): \[m = \rho l S,\] где \(\rho\) — плотность вещества проводника. Выражая из последней формулы длину проводника и подставляя её в первую, получим \[R = \frac{\rho_0 m}{\rho S^2}.\] Отсюда находим сопротивления первого и второго мотка проволоки. Для первого мотка \[R_1 = \frac{\rho_0 m}{\rho S^2}.\] Для второго (площадь сечения проволоки которого в \(9\) раз меньше, а масса в 2 раза больше) \[R_2 = \frac{\rho_0\,2m}{\rho\,(S^2/81)} = 162\,R_1.\] Отсюда \[\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{162}.\]

Время полёта тела, брошенного вверх со скоростью \(v_0\) с поверхности земли, равно \(2v_0/g\). Сравните времена полёта двух тел.

\(\Delta t = t/3\).

Время падения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\), определяется соотношением \[t = \frac{2v_0}{g}.\] Поскольку время движения второго тела на \(\Delta t\) меньше, чем первого, а его скорость составляет две трети от скорости первого, для времени падения второго тела имеем \[t - \Delta t = \frac{2\left(2v_0/3\right)}{g}.\] Подставляя время \(t\) из первой формулы во вторую, получим \[\frac{2v_0}{g} - \Delta t = \frac{2\left(2v_0/3\right)}{g}.\] Отсюда находим \[\Delta t = \frac{2v_0}{3g} = \frac{1}{3}\,t.\]

Сравните объём воды, который получится из льда, с объёмом вытесненной льдом тяжёлой жидкости.

Жидкость будет переливаться через край; вылившийся объём \(\Delta V = \dfrac{9m}{10\rho}\).

Мысленно зафиксируем жидкость в сосуде, найдём объём льдинки, погружённый в тяжёлую жидкость, и объём воды, получившийся при таянии льда. Если эти объёмы будут одинаковы, уровень жидкости не изменится, жидкость из сосуда не выливается. Если объём получившейся воды больше объёма погружённой в тяжёлую жидкость части льдинки, вода выльется через край сосуда. Если объём воды меньше объёма погружённой в тяжёлую жидкость части льдинки, уровень жидкости в сосуде понизится.

Условие плавания льдинки даёт \[mg = 10\rho g V_{п.ч.} \quad\Rightarrow\quad V_{п.ч.} = \frac{m}{10\rho},\] где \(V_{п.ч.}\) — объём погружённой в тяжёлую жидкость части льдинки.

При таянии льда массой \(m\) получится вода объёмом \(V_в\), который находится из очевидного соотношения \[V_в = \frac{m}{\rho}.\] Сравнивая эти два объёма, видим, что \(V_в > V_{п.ч.}\), поэтому часть жидкости объёмом \[\Delta V = V_в - V_{п.ч.}\] выльется из сосуда. Отсюда находим \[\Delta V = \frac{m}{\rho} - \frac{m}{10\rho} = \frac{9m}{10\rho}.\]

Если температура воды не меняется, её внутренняя энергия тоже не меняется. Какие тела участвуют в теплообмене, и какой будет конечная температура тел?

Температура тела массой \(m\) равна \(60\,^\circ\)C, тела массой \(2m\) — \(0\,^\circ\)C.

Поскольку температура воды не изменилась, не изменилась и её внутренняя энергия. Следовательно, вода в калориметре и не получала энергию от тел, и не отдавала им свою внутреннюю энергию. Поэтому установление теплового равновесия тел в рассматриваемой ситуации происходит так же, как будто бы воды не было, но конечная температура тел равна температуре воды. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид \[cm\,(t_1 - t) + c\,2m\,(t_1 - \Delta t - t) = 0,\] где \(c\) — удельная теплоёмкость вещества тел, \(t_1\) — температура первого тела, \(t_1 - \Delta t\) — температура второго тела. Отсюда находим \[t_1 = t + \frac{2}{3}\,\Delta t = 60\,^\circ\text{C}, \qquad t_2 = t_1 - \Delta t = t - \frac{1}{3}\,\Delta t = 0\,^\circ\text{C}.\]

Рассмотрите равновесие поднятой части верёвки, а затем лежащей на столе части. Сила натяжения в точке перехода горизонтальна.

\(\mu \ge \dfrac{1}{3}\sqrt{16\left(\dfrac{F}{mg}\right)^2 - 1}\).

Условие равновесия участка верёвки, который не лежит на столе (BC; см. рисунок), имеет вид \[\frac{1}{4}m\vec g + \vec F + \vec T = 0,\] где \(\frac{1}{4}m\) — его масса, \(\vec T\) — сила натяжения верёвки в точке B, действующая на участок BC со стороны участка AB и направленная горизонтально (см. рисунок). В проекциях на горизонтальную и вертикальную оси это условие даёт \[F\cos\alpha = T, \qquad F\sin\alpha = \frac{1}{4}\,mg,\] где \(\alpha\) — угол между горизонтом и концом верёвки (см. рисунок).

Выражая из первого уравнения \(\cos\alpha\) и используя основное тригонометрическое тождество, получим из второго уравнения \[\sqrt{F^2 - T^2} = \frac{1}{4}\,mg \quad\Rightarrow\quad T = \sqrt{F^2 - \frac{1}{16}\,m^2g^2}.\] Поскольку такая же по величине сила \(T\) действует со стороны участка верёвки BC на лежащий на столе участок верёвки AB, условие равновесия участка AB даёт \[T \le F_{тр}^{\max} = \mu N = \frac{3}{4}\,\mu m g.\] Подставляя в эту формулу силу натяжения верёвки, получим \[\mu \ge \frac{1}{3}\sqrt{16\left(\frac{F}{mg}\right)^2 - 1}.\]