Росатом, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Подсказка

Запишите уравнение теплового баланса для первого сосуда. Что меняется от сосуда к сосуду в разности температур детали и масла?

Ответ

1) \(\Delta t_3 = \dfrac{\Delta t_2^2}{\Delta t_1} \approx 0{,}42\,^\circ\text{C}\);  2) \(t = t_0 + \dfrac{\Delta t_1^2}{\Delta t_2} = 740\,^\circ\text{C}\).

Решение

Пусть теплоёмкость сосуда с маслом равна \(C_0\), теплоёмкость детали \(C\), начальная температура детали \(t\). Установившаяся температура масла в первом сосуде равна \(t_0 + \Delta t_1\), поэтому уравнение теплового баланса для опускания детали в первый сосуд даёт \[C_0\,\Delta t_1 = C\,(t - t_0 - \Delta t_1), \qquad \Delta t_1 = \frac{C\,(t - t_0)}{C + C_0}.\] Разность температур детали и масла, с которой деталь попадает во второй сосуд, равна \(\Delta t_1\), а теплоёмкости не изменились, поэтому \[\Delta t_2 = \frac{C\,\Delta t_1}{C + C_0}.\] Аналогично для третьего сосуда \[\Delta t_3 = \frac{C\,\Delta t_2}{C + C_0}.\] Выразив из второй формулы отношение \(C/(C + C_0)\) и подставив его в третью и первую формулы, получим повышение температуры третьего сосуда и первоначальную температуру детали \[\Delta t_3 = \frac{\Delta t_2^2}{\Delta t_1} = 0{,}42\,^\circ\text{C}, \qquad t = t_0 + \frac{\Delta t_1^2}{\Delta t_2}.\]

Подсказка

По третьему закону Ньютона сила, с которой мешочек действует на воду, равна силе Архимеда. Как изменяется масса системы «вода + вещество», когда оно растворяется?

Ответ

Показания весов увеличатся на \(2\,\Delta P\).

Решение

Когда мешочек опускается в воду, на него начинает действовать сила Архимеда \(F_A = \rho_0 g V\) со стороны воды (\(\rho_0\) — плотность воды, \(V\) — объём мешочка, равный объёму растворимого вещества). По третьему закону Ньютона мешочек действует на воду с точно такой же силой, поэтому вес сосуда увеличится на вес воды в объёме мешочка, а показания весов увеличатся на \[\Delta P = \rho_0 V\] по сравнению со случаем, когда сосуд взвешивали без мешочка (весы проградуированы в единицах массы).

После того как всё вещество растворится, оно перейдёт в раствор, и вес сосуда увеличится (по сравнению со случаем, когда сосуд взвешивали без мешочка) на силу тяжести растворённого вещества, т.е. на величину \(\rho g V = 3\rho_0 g V\). Поэтому показания весов после растворения увеличатся на величину \[\Delta m_1 = 3\rho_0 V - \rho_0 V = 2\rho_0 V = 2\,\Delta P\] по сравнению со случаем, когда мешочек в сосуд опустили, но вещество не начало растворяться.

Подсказка

Сравните объём бумаги, израсходованной за 10 дней, с объёмом оставшейся. Какой объём бумаги соответствует изменению радиуса рулона?

Ответ

На 8 дней.

Решение

Найдём объём бумаги, потраченный за 10 дней работы типографии, и объём оставшейся бумаги: сравнение этих объёмов позволит найти, на сколько дней хватит оставшейся бумаги.

За 10 дней израсходован объём бумаги \[V = \pi\left(R^2 - \left(\frac{2R}{3}\right)^2\right) h = \frac{5}{9}\,\pi R^2 h,\] где \(R\) — первоначальный радиус рулона, \(h\) — его высота. Остался объём бумаги \[V_{\text{ост}} = \pi\left(\frac{2R}{3}\right)^2 h = \frac{4}{9}\,\pi R^2 h.\] Этот объём составляет \(4/5\) от объёма, потраченного за 10 дней, значит, его хватит на \(4/5\) от 10 дней, т.е. на 8 дней.

Подсказка

Как меняется расстояние между телами, если рассматривать их движение относительно друг друга? В какой момент оно может быть наибольшим?

Ответ

\(S_{\max} = \dfrac{4v_0^2}{9g}\).

Решение

Докажем, что максимальное расстояние между телами будет в момент броска второго тела. Уравнения движения тел после броска второго тела имеют вид \[\vec r_1(t) = \vec r_1 + \vec v_1 t + \frac{\vec g t^2}{2}, \qquad \vec r_2(t) = \vec v_2 t + \frac{\vec g t^2}{2},\] где \(\vec r_1(t)\) и \(\vec r_2(t)\) — радиусы-векторы первого и второго тел относительно системы координат с началом на поверхности земли, \(\vec r_1\) — радиус-вектор первого тела в момент броска второго тела, \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — скорости тел в этот момент, время \(t\) отсчитывается от момента броска второго тела. Вычитая эти формулы, получим \[\vec r_1(t) - \vec r_2(t) = \vec r_1 + (\vec v_1 - \vec v_2)\,t.\] Если вектор \(\vec v_1 - \vec v_2\) направлен вертикально вверх (так же как \(\vec r_1\)), то длина вектора \(\vec r_1(t) - \vec r_2(t)\) всё время растёт. Если векторы \(\vec r_1\) и \(\vec v_1 - \vec v_2\) направлены противоположно, то расстояние между телами будет уменьшаться, в какой-то момент станет равным нулю, а потом снова будет расти. Поскольку тела падают на землю одновременно, реализуется второй случай. Поэтому расстояние между телами до момента их встречи (на поверхности) всегда уменьшается, и максимально оно в момент броска второго тела. Найдём это расстояние.

В момент падения скорость первого тела равна \(-v_0\), а второго \(-2v_0/3\), поэтому времена движения первого и второго тел \(t_1\) и \(t_2\) находятся из уравнений \[-v_0 = v_0 - g t_1, \qquad -\frac{2}{3}v_0 = \frac{2}{3}v_0 - g t_2.\] Откуда \[t_1 = \frac{2v_0}{g}, \qquad t_2 = \frac{4v_0}{3g}, \qquad \Delta t = t_1 - t_2 = \frac{2v_0}{3g}\] — время задержки броска второго тела. Подставляя его в уравнение движения первого тела \(x_1(t) = v_0 t - \dfrac{g t^2}{2}\) (координата отсчитывается от поверхности земли, время — от момента броска первого тела), найдём расстояние между телами в момент броска второго тела, которое и будет максимальным: \[S_{\max} = x_1(\Delta t) = \frac{4v_0^2}{9g}.\]

Подсказка

Рассмотрите участок стержня длиной \(l\) у нижнего конца. Чему равно ускорение стержня и куда оно направлено при разных соотношениях масс \(m\) и \(M\)?

Ответ

\(T = \dfrac{2mM}{3(m+M)}\,g\); сила натяжения не зависит от того, какая из масс больше.

Решение

Рассмотрим отдельно два случая: \(m > M\) и \(m < M\).

Первый случай — \(m > M\). В этом случае ускорение стержня направлено вверх и равно по величине \[a = \frac{m - M}{m + M}\,g.\] Рассмотрим движение участка стержня длиной \(l\). Он имеет то же ускорение, что и сам стержень, и на него действуют сила тяжести \(M_1\vec g\) (\(M_1\) — масса рассматриваемого участка) и искомая сила натяжения \(\vec T\) в сечении, отделяющем этот участок от самого стержня (см. рисунок). Второй закон Ньютона для рассматриваемого участка в проекции на ось, направленную вверх, даёт \[M_1 a = T - M_1 g \quad\Rightarrow\quad T = M_1\,(a + g) = \frac{2mM_1}{m + M}\,g.\] Длина участка составляет \(1/3\) длины стержня, значит, его масса составляет \(1/3\) массы стержня: \(M_1 = M/3\). Окончательно \[T = \frac{2mM}{3(m + M)}\,g.\]

Второй случай — \(m < M\). Ускорение участка стержня равно по величине \[a = \frac{M - m}{m + M}\,g\] и направлено вертикально вниз. Второй закон Ньютона для него: \[M_1 a = M_1 g - T \quad\Rightarrow\quad T = M_1\,(g - a) = \frac{2mM_1}{m + M}\,g = \frac{2mM}{3(m + M)}\,g.\] Из сравнения двух случаев видно, что сила натяжения стержня в рассматриваемом сечении не зависит от того, какая из масс больше, \(m\) или \(M\).

Подсказка

Найдите вольтметры, между концами которых напряжение равно нулю при симметричном подключении. Затем выделите в оставшейся цепи участки, соединённые последовательно и параллельно.

Ответ

\(U_1 = U_2 = 5\) В;  \(U_3 = U_5 = 3\) В;  \(U_4 = U_9 = 0\);  \(U_6 = U_7 = 2\) В;  \(U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = 1\) В.

Решение

Пусть к цепи приложено напряжение \(U\). Тогда электрическое напряжение между точками Б, Д и З (см. рисунок в условии) равно нулю. Следовательно, показания вольтметров \(V_4\) и \(V_9\) нулевые, \(U_4 = U_9 = 0\), и эти вольтметры можно удалить из цепи без изменения токов в каких-либо её участках. Поэтому цепь эквивалентна цепи, показанной на рисунке, из которого видно, что напряжение делится пополам на правую и левую половины цепи, и, следовательно, \(U_1 = U_2 = \dfrac{1}{2}U\).

Далее, напряжение на участке А–З,Д равно \(U/2\), сопротивление участка Г–З,Д составляет \(r_{\text{Г–З,Д}} = \dfrac{2r}{3}\), где \(r\) — сопротивление вольтметра. Это напряжение делится между участками А–Г и Г–З,Д в пропорции \(1:(2/3)\). Поэтому напряжение на вольтметре \(V_3\) (участок А–Г) равно \(3/5\) от \(U/2\), а на вольтметрах \(V_6\), \(V_8\) и \(V_{11}\) составляет \(2/5\) от \(U/2\). Поэтому \[U_3 = \frac{3}{10}U, \qquad U_6 = \frac{2}{10}U, \qquad U_8 = U_{11} = \frac{1}{10}U.\] Аналогично \[U_5 = \frac{3}{10}U, \qquad U_7 = \frac{2}{10}U, \qquad U_{10} = U_{12} = \frac{1}{10}U.\] Условие равенства суммы показаний всех вольтметров величине \(U_0\) даёт \[U_1 + U_2 + \dots + U_{12} = U_0 \quad\Rightarrow\quad \frac{24}{10}\,U = U_0,\] откуда \(U = \dfrac{10}{24}U_0\). Тогда \[U_1 = U_2 = \frac{5}{24}U_0 = 5\text{ В}, \qquad U_3 = U_5 = \frac{3}{24}U_0 = 3\text{ В}, \qquad U_4 = U_9 = 0,\] \[U_6 = U_7 = \frac{2}{24}U_0 = 2\text{ В}, \qquad U_8 = U_{10} = U_{11} = U_{12} = \frac{1}{24}U_0 = 1\text{ В}.\]