Росатом, 2022/23, отборочный этап, 9 класс

Сравните пути, пройденные машинами от выхода до первой встречи и от первой встречи до второй. Какую сумму расстояний проходят машины вместе между двумя встречами?

На расстоянии \(S/5\) от города А.

Докажем, что если до первой встречи машин прошло время \(t\), то до следующей встречи (после разворотов в соответствующих городах) проходит время \(2t\). Действительно, сумма расстояний, пройденных машинами до первой встречи, равна расстоянию между городами. После этого машины должны доехать до пунктов назначения — сумма расстояний, пройденных ими от первой встречи до пунктов назначения, равна расстоянию между городами, затем развернуться и снова проехать в сумме расстояние, равное расстоянию между городами. Значит, расстояние, пройденное каждой машиной от первой встречи до второй, вдвое больше расстояния от пунктов выхода до первой встречи.

Машина, вышедшая из А, прошла до первой встречи расстояние \(3S/5\), поэтому от первой до второй встречи она пройдёт расстояние \(6S/5\). То есть от выхода до второй встречи она пройдёт расстояние \(9S/5\): успеет дойти до города В, развернуться и пройти до встречи со второй машиной расстояние \(4S/5\). Значит, вторая встреча машин произойдёт на расстоянии \(S/5\) от города А.

Найдите высоту и скорость ракеты в момент выключения двигателя, а затем запишите координату ракеты, которая движется только под действием силы тяжести.

\(t_1 = \left(2 + \sqrt{6}\right)t_0\).

Из законов равноускоренного движения ракеты с ускорением \(a = 2g\) находим высоту, на которой выключится двигатель, и скорость ракеты в этот момент: \[h = \frac{2g\,t_0^2}{2} = g\,t_0^2, \qquad v = 2g\,t_0.\] Поэтому закон движения ракеты с ускорением \(g\) даёт её вертикальную координату как функцию времени \[y(t) = g\,t_0^2 + 2g\,t_0\,t - \frac{g\,t^2}{2}.\] Здесь время отсчитано от момента выключения двигателя, начало координат находится на поверхности земли, ось \(y\) направлена вертикально вверх. В момент падения ракеты на землю её координата становится равной нулю, поэтому для момента падения \(t_1\) имеем \[\frac{t_1^2}{2} - 2t_0 t_1 - t_0^2 = 0.\] Решая это квадратное уравнение и выбирая положительный корень, получаем \[t_1 = \left(2 + \sqrt{6}\right)t_0.\]

Какая температура установится в ведре в конце, если теплообмена со льдом при 0 °C не будет? Сравните объём растаявшего льда с объёмом ведра.

\(\eta = \dfrac{V_1}{V} = \dfrac{c\,(t - t_1)\,\rho}{\lambda\,\rho_1} \approx 0{,}71\).

В конечном состоянии ведро будет окружено льдом с температурой \(t_1 = 0\,^\circ\text{C}\), поэтому температура воды в ведре тоже будет равна \(t_1 = 0\,^\circ\text{C}\). Замерзать эта вода не будет, так как теплообмена между водой в ведре и окружающим льдом с той же температурой не будет. Следовательно, вода потеряет количество тепла \[Q = c\,m\,(t - t_1),\] где \(m\) — масса воды в ведре. Всё это тепло идёт на плавление льда, в результате расплавится масса льда \(m_1\): \[\lambda\,m_1 = c\,m\,(t - t_1), \qquad m_1 = \frac{c\,m\,(t - t_1)}{\lambda}.\] Плавление такой массы льда приводит к образованию пустого пространства объёмом \[V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{c\,m\,(t - t_1)}{\lambda\,\rho_1}.\] А поскольку объём ведра равен \(V = m/\rho\), то ведро погрузится в лёд на долю своего объёма \[\eta = \frac{V_1}{V} = \frac{c\,(t - t_1)\,\rho}{\lambda\,\rho_1} \approx 0{,}71.\]

Какая сила трения действует на тело \(2m\) в момент начала движения? Что удерживает тело массой \(2m\) неподвижным, пока масса песка мала?

\(a = \dfrac{\mu g}{2(1+\mu)}\).

Сначала найдём минимальную массу песка, при которой тела сдвинутся с места. Поскольку массы чашки и подвешенного с другой стороны тела одинаковы, то для того чтобы тело \(2m\) сдвинулось с места, сила тяжести песка должна быть равна максимальной силе трения покоя, действующей на тело \(2m\). Таким образом, минимальная масса песка \(m_1\) определяется равенством \[m_1 g = \mu\,2mg \quad\Rightarrow\quad m_1 = 2\mu m.\] Рассмотрим теперь случай, когда масса песка в чашке равна \(m_2 = 4\mu m\). Тогда уравнения движения тел в проекции на направление их движения имеют вид \[m a = T_1 - mg, \qquad 2m a = T_2 - T_1 - 2\mu m g, \qquad (m + 4\mu m)\,a = (m + 4\mu m)\,g - T_2,\] где \(a\) — ускорение тел, \(T_1\) и \(T_2\) — силы натяжения левой и правой нитей в этом случае. Складывая эти уравнения, найдём \[a = \frac{\mu g}{2(1 + \mu)}.\]

Одинаковый ток течёт через последовательно соединённые вольтметры: что можно сказать об их сопротивлениях, исходя из показаний? Сумма напряжений на всех вольтметрах равна напряжению источника.

\(U_1 = 1{,}5\) В;  \(U_2 = 3\) В;  \(U_3 = 4{,}5\) В;  \(U_4 = 15\) В.

Поскольку источник идеальный, сумма напряжений на всех элементах, подключённых к нему последовательно, равна его напряжению \(U = 24\) В. Значит, в первом случае (подключены вольтметры 1, 2 и 3) показания вольтметров таковы: \(U_1 = 4\) В, \(U_2 = 8\) В и \(U_3 = 12\) В. Так как вольтметры подключены последовательно, через них течёт одинаковый ток. Поэтому из закона Ома сопротивления вольтметров относятся как \[R_1 : R_2 : R_3 = 1 : 2 : 3.\] Рассмотрим второй случай. Так как вольтметр 4 показывает \(U_4 = 16\) В, то сумма показаний вольтметров 2 и 3 равна 8 В. Следовательно, сопротивление вольтметра 4 в 2 раза больше суммы сопротивлений вольтметров 2 и 3. То есть сопротивления всех вольтметров относятся как \[R_1 : R_2 : R_3 : R_4 = 1 : 2 : 3 : 10.\] При подключении всех вольтметров через них будет течь одинаковый ток, поэтому их показания будут относиться как \(U_1' : U_2' : U_3' : U_4' = 1 : 2 : 3 : 10\). Поскольку сумма показаний вольтметров равна напряжению источника, имеем систему уравнений \[U_1' : U_2' : U_3' : U_4' = 1 : 2 : 3 : 10, \qquad U_1' + U_2' + U_3' + U_4' = U.\] Отсюда \[U_1' = \frac{U}{16} = 1{,}5\text{ В}, \quad U_2' = \frac{U}{8} = 3\text{ В}, \quad U_3' = \frac{3U}{16} = 4{,}5\text{ В}, \quad U_4' = \frac{5U}{8} = 15\text{ В}.\]

Сумма моментов сил, действующих на невесомый стержень, равна нулю. Как связаны ускорения двух концов стержня, вращающегося вокруг оси?

Тело \(2m\): \(a_1 = \dfrac{g}{11}\), направлено вверх; тело \(m\): \(a_2 = \dfrac{3g}{11}\), направлено вниз.

Поскольку стержень невесом, сумма сил и сумма моментов всех сил, действующих на стержень, равна нулю. В частности, для моментов сил, действующих на стержень со стороны тел (см. рисунок), имеем \[\frac{l}{4}\,N_1 = \frac{3l}{4}\,N_2 \quad\Rightarrow\quad N_1 = 3N_2.\]

Поэтому второй закон Ньютона для тел (в проекциях на вертикальную ось, направленную вертикально вниз) даёт \[2m\,a_1 = 2mg - N_1, \qquad m\,a_2 = mg - N_2,\] где \(a_1\) и \(a_2\) — проекции ускорений тел на эту ось. Учитывая \(N_1 = 3N_2\) и связь ускорений \(a_2 = -3a_1\), получим \[a_1 = -\frac{g}{11}, \qquad a_2 = \frac{3g}{11}.\] Знак минус у ускорения первого тела означает, что вектор его ускорения направлен вверх.