Росатом, 2022/23, заключительный этап, 10 класс

Импульсы после удара направлены вдоль первоначального движения. Запишите закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

\(m_2 = \dfrac{m_1}{5}\).

После центрального абсолютно упругого столкновения налетающее тело может двигаться и вперед, и назад. Но поскольку величина его импульса больше величины импульса первоначально покоившегося тела, из закона сохранения импульса следует, что его импульс направлен в направлении первоначального движения. Закон сохранения импульса в проекции на это направление дает \[p_0 = p_1 + p_2, \qquad p_1 = 2p_2,\] где \(p_0\) — импульс налетающего тела, \(p_1\) и \(p_2\) — импульсы тел \(m_1\) и \(m_2\) после столкновения. Отсюда \(p_1 = \dfrac{2}{3}p_0\), \(p_2 = \dfrac{1}{3}p_0\).

Закон сохранения энергии: \[\frac{p_0^2}{2m_1} = \frac{p_1^2}{2m_1} + \frac{p_2^2}{2m_2}.\] С учетом предыдущих формул получаем \[\frac{m_1}{m_2} = 5, \qquad \text{т.е.} \quad m_2 = \frac{m_1}{5}.\]

При одинаковых температуре и давлении в одном и том же объеме содержится одно и то же число молекул. Сколько молекул во влажном воздухе занимают доли пара и сухого воздуха?

\(\dfrac{\rho_{\text{сух}}}{\rho_{\text{вл}}} = \dfrac{p\,\mu_{возд}}{(p - p_0)\,\mu_{возд} + p_0\,\mu_{вод}} \approx 1{,}0076\), где \(\mu_{вод} = 18\) г/моль.

Пусть в одном кубическом метре сухого воздуха содержится \(N\) «усредненных» молекул воздуха с молярной массой \(\mu_{возд}\). Тогда масса всех молекул сухого воздуха в одном кубическом метре \[m_{с.в.} = \frac{N}{N_A}\,\mu_{возд}.\] По закону Дальтона при тех же температуре и давлении кубический метр влажного воздуха содержит точно такое же суммарное количество молекул — воздуха и воды. Поскольку пар по условию насыщенный, его парциальное давление равно \(p_0\), а парциальное давление воздуха равно \(p - p_0\). Поэтому доля молекул воздуха во влажном воздухе равна \(\left(1 - \dfrac{p_0}{p}\right)\), а доля молекул воды — \(\dfrac{p_0}{p}\). Масса всех молекул влажного воздуха в одном кубическом метре \[m_{в.в.} = \left(1 - \frac{p_0}{p}\right)\frac{N}{N_A}\,\mu_{возд} + \frac{p_0}{p}\,\frac{N}{N_A}\,\mu_{вод},\] где \(\mu_{вод} = 18\) г/моль — молярная масса воды. Отсюда отношение плотностей сухого и влажного воздуха при данных условиях \[\frac{\rho_{с.в.}}{\rho_{в.в.}} = \frac{p\,\mu_{возд}}{(p - p_0)\,\mu_{возд} + p_0\,\mu_{вод}} \approx 1{,}0076.\]

Расстояние растет, пока проекции скоростей тел на прямую, соединяющую тела, имеют разные знаки. Что происходит с этой прямой, когда тело на окружности проходит четверть окружности?

\(t = \dfrac{\pi R}{2v}\);  \(S_{max} = \dfrac{R}{2}\sqrt{(\pi - 2)^2 + 4} \approx 1{,}15\,R\).

Расстояние между двумя движущимися телами увеличивается, если проекции скоростей тел на прямую, соединяющую их, имеют разные знаки (или одинаковые знаки, но проекция скорости догоняющего тела меньше проекции скорости убегающего), и уменьшается в обратных случаях. Скорость тела, движущегося по диаметру, направлена вдоль диаметра, а второго — по касательной к окружности, и они одинаковы по величине. Поэтому до того момента, когда второе тело пройдет четверть окружности, проекции скоростей тел на соединяющую их прямую имеют разные знаки, и расстояние растет. После этого момента расстояние уменьшается, поскольку тело, движущееся по окружности, направлено под меньшим углом к соединяющей прямой. Следовательно, расстояние максимально, когда тело, движущееся по окружности, пройдет четверть окружности: \[t = \frac{\pi R}{2v}.\] За это время тело, движущееся по диаметру, пройдет кусок длиной \[x = vt = \frac{\pi R}{2}.\] Расстояние между телами в этот момент по теореме Пифагора \[S = \sqrt{\left(\frac{\pi R}{2} - R\right)^2 + R^2} = \frac{R}{2}\sqrt{(\pi - 2)^2 + 4}.\]

Запишите условия моментов для верхних и нижних стержней, найдите угол между стержнями, а затем условие сил для двух нижних стержней.

\(T = \dfrac{7}{2}\,mg\).

Пусть сила \(\vec F\), действующая со стороны верхнего стержня на нижний, направлена под углом \(\alpha\) к нижнему стержню (см. рисунок). Условие моментов для нижнего стержня относительно его нижней точки: \[Fl\sin\alpha = 2mg\,\frac{l}{2}\cos45^\circ.\] Здесь \(l\) — длина стержня. Для верхнего стержня условие моментов относительно его верхней точки: \[Fl\sin(90^\circ - \alpha) = mg\,\frac{l}{2}\cos45^\circ.\] Деля эти равенства друг на друга, получаем \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), откуда \(\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt5}\), \(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt5}\). Подставляя в одно из условий, находим \[F = \frac{\sqrt{10}}{4}\,mg.\] Условие сил для двух нижних стержней, на которые действуют сила тяжести \(4mg\), искомая сила натяжения веревки \(T\) и две силы \(F\) в шарнирах: \[T = 4mg - 2F\sin(\alpha - 45^\circ) = \frac{7}{2}\,mg.\]

Сопротивление бесконечной цепи не меняется, если отрезать одну ячейку: получите уравнение для него. Затем учтите, что падение напряжения на амперметре составляет треть от падения на последовательно соединенном с ним резисторе.

\(I_1 = \dfrac{U}{65r}\);  \(I_2 = \dfrac{61}{65}\,I_1 = \dfrac{61\,U}{65^2\,r}\); сумма показаний амперметров \(\dfrac{U}{4r}\); сумма показаний вольтметров \(\dfrac{1000}{65}\,U \approx 15{,}4\,U\).

Найдем сопротивление цепи \(R_x\). Мысленно отрезая одну ячейку и требуя, чтобы оставшееся сопротивление было равно \(R_x\), получим уравнение \[R_x = 4r + \frac{1000r\cdot R_x}{1000r + R_x},\] которое сводится к квадратному \[R_x^2 - 4rR_x - 4000r^2 = 0.\] Выбирая положительный корень, находим \[R_x = 2r + \sqrt{4r^2 + 4000r^2} \approx 65r.\] Ток через источник совпадает с показанием первого амперметра: \[I_1 = \frac{U}{65r}.\] Напряжение на первом вольтметре \[U_1 = U - 4rI_1 = \frac{61}{65}\,U,\] значит, ко второму звену приложено такое напряжение, и показания второго амперметра в \(61/65\) раза меньше показаний первого: \[I_2 = \frac{61}{65}\,I_1 = \frac{61\,U}{65^2\,r}.\] Сумма токов через все вольтметры равна току через источник, поэтому сумма показаний вольтметров \[U_{сум} = 1000r\,(I_{1} + I_{2} + \dots) = 1000r\,I_1 = \frac{1000}{65}\,U \approx 15{,}4\,U.\] Сумма падений напряжения на амперметрах и резисторах равна напряжению источника. Падение напряжения на каждом амперметре составляет треть от падения на последовательно соединенном с ним резисторе, поэтому сумма падений напряжения на всех амперметрах составляет четверть напряжения источника: \[\sum_k I_k r = \frac{U}{4}, \qquad \text{откуда} \qquad I_{сум} = \sum_k I_k = \frac{U}{4r}.\]