Росатом, 2022/23, заключительный этап, 11 класс

Подсказка

Сравните скорости бусинок на горизонтальном участке. Какой закон сохранения работает при слипании, если внешних горизонтальных сил нет?

Ответ

\(Q = \dfrac{4\,(2-\sqrt{3})}{3}\,mgl\sin\alpha \approx 0{,}357\,mgl\sin\alpha\).

Решение

Бусинки скатываются по наклонной части с нулевыми начальными скоростями и одинаковыми ускорениями, поэтому верхняя не догонит нижнюю на наклонном участке. На горизонтальном участке бусинки движутся с постоянными скоростями, причём верхняя — быстрее (она спустилась с большей высоты). Значит, столкновение происходит на горизонтальном участке.

По закону сохранения энергии скорости перед столкновением: для нижней бусинки \(2mgl\sin\alpha = \dfrac{2mv_1^2}{2}\), откуда \(v_1 = \sqrt{2gl\sin\alpha}\); для верхней \(mg\cdot 3l\sin\alpha = \dfrac{mv_2^2}{2}\), откуда \(v_2 = \sqrt{6gl\sin\alpha}\).

При абсолютно неупругом столкновении бусинки слипаются. По закону сохранения импульса \[2mv_1 + mv_2 = 3mv \quad\Rightarrow\quad v = \frac{2v_1}{3} + \frac{v_2}{3}.\]

Количество теплоты находим по закону сохранения энергии: \[Q = \frac{2mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} - \frac{3mv^2}{2} = \frac{4\,(2-\sqrt{3})}{3}\,mgl\sin\alpha \approx 0{,}357\,mgl\sin\alpha .\]

Подсказка

Ускорение тела связано с ускорением блока кинематически. Посмотрите, сколько участков верёвки приложено к блоку.

Ответ

\(a_{\text{тела}} = \dfrac{4g}{3}\), \(a_{\text{блока}} = \dfrac{2g}{3}\) (оба вниз).

Решение

Верёвка в процессе падения натянута. Действительно, если бы она не была натянута, блок падал бы с ускорением \(g\), и со стороны тела верёвка «вытягивала» бы такую длину, что ускорение тела должно было бы равняться \(2g\), что возможно только при натянутой верёвке. Значит, верёвка натянута, и вместе с силой тяжести она даёт телу ускорение, большее \(g\), а блоку — меньшее \(g\).

На тело действуют сила тяжести \(mg\) и сила натяжения \(T\). На блок действуют сила тяжести \(2mg\) и две силы натяжения, равные друг другу, так как масса блока сосредоточена на оси. Второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось: \[ma_1 = mg + T, \qquad 2ma_2 = 2mg - 2T .\] Ускорение тела вдвое больше ускорения блока: \(a_1 = 2a_2\). Отсюда \[a_1 = \frac{4g}{3}, \qquad a_2 = \frac{2g}{3}, \qquad T = \frac{mg}{3}.\]

Подсказка

Найдите, как меняется площадь контура внутри поля. Она зависит от того, какая часть контура сейчас в поле?

Ответ

\(Q = \dfrac{4\,aB^2d^2v}{\sqrt{5}\,R}\).

Решение

Пока контур пересекает область поля, в нём наводится ЭДС индукции: \[\mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B\,\Delta S}{\Delta t}.\] Пусть в некоторый момент времени контур расположен так, как показано на рисунке. За малое время \(\Delta t\) из области поля выходит кусочек площади \(x\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\), а входит кусочек \((x+d)\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\), где \(x\) — расстояние от вершины контура до ближайшей границы поля, \(\alpha\) — половина угла при вершине контура. Изменение площади контура в поле \[\Delta S = 2\left((x+d)\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t - x\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\right) = 2d\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t .\] Отсюда \(\mathcal{E} = 2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Эта величина не зависит от того, какая часть контура находится в поле, поэтому ток постоянен: \[I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha}{R},\] и выделяется постоянная мощность \[P = I^2R = \frac{(2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha)^2}{R}.\] Контур движется равномерно, поэтому время пролёта через поле \[t = \frac{2a\cos\alpha}{v}.\]

Полное количество теплоты \[Q = Pt = \frac{8aB^2d^2v\,\mathrm{tg}^2\alpha\cos\alpha}{R}.\] Учитывая, что \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{1}{2}\) и \(\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\), получаем окончательно \[Q = \frac{4\,aB^2d^2v}{\sqrt{5}\,R}.\]

Подсказка

При медленном снятии песка процесс адиабатический; работа газа идёт на подъём поршня с песком. Что изменится, если весь песок убрать сразу?

Ответ

\(E_k = pV\left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{4}{2^{5/3}}\right) = pV\left(\dfrac{3}{2} - 2^{1/3}\right) \approx 0{,}24\,pV\).

Решение

Сосуд теплоизолирован, поэтому с газом происходит адиабатический процесс. Конечное давление газа \(p_1\) находим из закона адиабаты: \[pV^{5/3} = p_1(2V)^{5/3} \quad\Rightarrow\quad p_1 = \frac{p}{2^{5/3}}.\] Так как процесс адиабатический, работа газа равна убыли его внутренней энергии: \[A = U - U_1 = \frac{3}{2}\left(pV - p_1\cdot 2V\right) = \frac{3}{2}\,pV\left(1 - \frac{1}{2^{2/3}}\right).\] В первом случае эта работа идёт на увеличение потенциальной энергии поршня и песка, который распределяется по высоте между начальным и конечным положениями поршня. Во втором случае работа идёт на увеличение потенциальной и кинетической энергий поршня, так как весь песок остаётся на исходном уровне. Поэтому \[A = Mgh + E_k,\] где \(M\) — масса поршня, \(h\) — высота подъёма поршня, \(E_k\) — его кинетическая энергия. Из условия равновесия поршня в конечном состоянии \(Mg = p_1S\), где \(S\) — площадь сечения сосуда. Умножая на \(h\) и учитывая, что \(Sh = V\), получаем \[Mgh = p_1V = \frac{pV}{2^{5/3}}.\] Для кинетической энергии поршня \[E_k = A - Mgh = \frac{3}{2}\,pV\left(1 - \frac{1}{2^{2/3}}\right) - \frac{pV}{2^{5/3}} = pV\left(\frac{3}{2} - \frac{4}{2^{5/3}}\right).\]

Подсказка

Докажите, что силы натяжения нитей пропорциональны их длинам, с одним общим коэффициентом. Затем найдите расстояние от точки подвеса до центра треугольника.

Ответ

\(T_3 = \dfrac{1{,}2\,mgl}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}} = 1{,}2\,T\).

Решение

Докажем, что силы натяжения нитей пропорциональны их длинам. Условие равновесия треугольника массы \(m\): \[\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 + m\vec g = 0 .\] Центр тяжести треугольника лежит под точкой крепления нитей. Введём вектор \(\vec h\) из точки крепления в центр тяжести (он направлен вертикально вниз) и векторы \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) из центра тяжести в вершины. Тогда \(\vec T_i = -k_i(\vec h + \vec a_i)\), где \(k_i\) — некоторые числа размерности Н/м. Так как \(\vec a + \vec b + \vec c = 0\), условие равновесия даёт \[\left\{ m\vec g - \vec h\,(k_1+k_2+k_3)\right\} + (k_3-k_1)\vec a - (k_3-k_2)\vec b = 0 .\] Второй и третий векторы лежат в плоскости треугольника, первый направлен вертикально, поэтому сумма равна нулю только если все они нулевые: \[k_1 = k_2 = k_3 = \frac{mg}{3h}.\] Итак, силы натяжения пропорциональны длинам нитей, а коэффициент пропорциональности определяется массой треугольника и расстоянием \(h\) от точки крепления до его центра.

Найдём \(h\) геометрически. Пусть \(AE = AD = l\), \(AC = 1{,}2\,l\), \(\angle AOB = \alpha\). Тогда \[AB = \sqrt{l^2 - (a/2)^2}, \qquad OB = \frac{\sqrt{3}\,a}{6}, \qquad OC = \frac{\sqrt{3}\,a}{3}, \qquad \angle AOC = \pi - \alpha .\] По теореме косинусов для треугольников \(AOB\) и \(AOC\): \[l^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{12} + h^2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\,ah\cos\alpha, \qquad 1{,}44\,l^2 = \frac{a^2}{3} + h^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\,ah\cos\alpha .\] Умножая первое уравнение на два и складывая, получаем \[h = \sqrt{\frac{3{,}44\,l^2 - a^2}{3}} .\] Отсюда коэффициент \(k = \dfrac{mg}{3h} = \dfrac{mg}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}}\) и силы натяжения \[T_1 = T_2 = \frac{mgl}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}} = T, \qquad T_3 = \frac{1{,}2\,mgl}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}} = 1{,}2\,T .\]