Росатом, 2022/23, заключительный этап, 7 класс

Относительная скорость поездов равна сумме их скоростей. Какое расстояние проходят поезда вместе, пока мимо машиниста проезжает весь второй поезд?

\(t_1 = 4\) с;  \(t_2 = 2{,}5\) с;  \(t_3 = 1{,}5\) с.

Между моментами, когда машинист первого поезда увидел начало и конец второго поезда, поезда в сумме проехали расстояние, равное длине второго поезда. Для времени \(t_1\), в течение которого машинист первого поезда видел напротив себя второй поезд: \[3v\,t_1 + v\,t_1 = 1{,}6\,l \quad\Rightarrow\quad t_1 = \frac{1{,}6\,l}{4v} = \frac{0{,}4\,l}{v} = 4~\text{с}.\]

Аналогично для времени \(t_2\), в течение которого машинист второго поезда видел напротив себя первый поезд: \[t_2 = \frac{l}{4v} = 2{,}5~\text{с}.\]

Чтобы все пассажиры первого поезда видели напротив себя второй поезд, все точки первого поезда должны оказаться напротив второго. Тогда за время \(t_3\) поезда в сумме проходят разность длин второго и первого поездов: \[3v\,t_3 + v\,t_3 = 1{,}6\,l - l = 0{,}6\,l \quad\Rightarrow\quad t_3 = \frac{0{,}6\,l}{4v} = \frac{0{,}15\,l}{v} = 1{,}5~\text{с}.\]

Какую массу несёт каждая нить? Верхняя нить держит оба тела, нижняя — только нижнее.

\(m_1 : m_2 = 4 : 3\).

Верхняя нить удерживает два тела с суммарной массой \(m_1 + m_2\), нижняя — одно тело массой \(m_2\). Условия равновесия: \[F_1 = (m_1 + m_2)\,g, \qquad F_2 = m_2\,g .\] Деля эти формулы друг на друга, \[\frac{F_1}{F_2} = \frac{m_1 + m_2}{m_2} = \frac{m_1}{m_2} + 1 .\] Отсюда \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{F_1}{F_2} - 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}.\]

Составьте баланс объёмов: объём сосуда равен сумме объёма воды, объёма гирьки и объёма вылившейся воды. Гирька вдвое тяжелее — её объём вдвое больше.

\(V_0 = \dfrac{6}{5}\,V = 240\) мл.

Пусть объём сосуда равен \(V_0\), объём первой гирьки — \(v\). В первом случае из сосуда вылился объём воды \(V/5\), поэтому баланс объёмов: \[V + v - V_0 = \frac{V}{5} \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{5}\,V + v = V_0 .\] Во втором случае воды было вдвое меньше, а гирька вдвое больше по объёму, и вылился объём воды \(V/10\): \[\frac{V}{2} + 2v - V_0 = \frac{V}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{4}{10}\,V + 2v = V_0 .\] Из системы уравнений (1)–(2) находим \[V_0 = \frac{6}{5}\,V = 240~\text{мл}.\]

Какие изюминки разрезаются? Это те, чьи центры находятся от разреза на расстоянии не больше \(r\). Найдите долю объёма батона, в которой лежат такие центры.

\(N = 125\) изюминок.

Разрезанными окажутся те изюминки, центры которых находятся на расстоянии не больше \(r\) от разреза. Такие центры попадают в параллелепипед с сечением, равным сечению батона (\(c \times b\)), и высотой \(2r\). Его объём \(V_0 = 2r\,bc\) содержит центры \(n = 5\) изюминок.

Изюминки распределены равномерно, поэтому среднее число изюминок в батоне \(N\) во столько же раз больше \(n\), во сколько объём батона \(V = abc\) больше \(V_0\): \[N = \frac{V}{V_0}\,n = \frac{abc}{2r\,bc}\,n = \frac{a}{2r}\,n = \frac{20}{0{,}8}\cdot 5 = 125 .\] Ответ не зависит от поперечных размеров батона \(b\) и \(c\).

Сколько суммарных расстояний между городами проходят коротышки до \(n\)-й встречи? Когда более быстрый догонит более медленного?

35-я встреча.

Пусть \(l\) — расстояние между городами, \(v_1 = 1{,}03\,v\) и \(v_2 = v\) (для определённости \(v_1 > v_2\)). Первая встреча происходит через время \[t_1 = \frac{l}{v_1 + v_2}.\] От первой до второй встречи коротышки в сумме проходят удвоенное расстояние между городами (доезжают до пунктов назначения, разворачиваются и проезжают расстояние между городами). Значит, \(t_2 = 3t_1\). От второй до третьей встречи снова проходится удвоенное расстояние, поэтому \(t_3 = 5t_1\). Для \(n\)-й встречи \[t_n = (2n-1)\,t_1 = \frac{(2n-1)\,l}{v_1 + v_2}.\] До \(n\)-й встречи каждый из коротышек проезжает расстояние, меньшее \(nl\). Условие того, что более быстрый Незнайка впервые догонит более медленного Пончика, двигаясь с ним в одном направлении, есть: за время, в течение которого они вместе проходят \(2l\), более быстрый проходит больше \(l\). То есть \[v_1 t_n \geq nl \quad\Rightarrow\quad \frac{(2n-1)\,v_1\,l}{v_1 + v_2} \geq nl \quad\Rightarrow\quad n \geq \frac{v_1}{v_1 - v_2}.\] Для \(v_1 = 1{,}03\,v\) и \(v_2 = v\) получаем \(n \geq \dfrac{1{,}03}{0{,}03} \approx 34{,}3\), значит, \(n = 35\).