Росатом, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Выразите полный путь через полное время и скорости на первых двух этапах. Средняя скорость на последнем участке определяется его длиной и временем прохождения.

Ответ

\(v_1 = 2v = 2\) км/ч.

Решение

Пусть полный путь, пройденный человеком, равен \(S\), затраченное время — \(t\). Тогда из соотношений, связывающих расстояние, время и скорость для первого и второго этапов движения, имеем \[v\,\frac{t}{3} + 3v\,\frac{t}{3} = \frac{2S}{3}.\] С другой стороны, \[v_1 = \frac{S/3}{t/3}.\] Поэтому из первого соотношения находим \(v_1 = 2v = 2\) км/ч.

Подсказка

Рассмотрите равновесие первого (нижнего) блока, затем следующего, и найдите закономерность для сил натяжения нитей.

Ответ

\(T = mg\).

Решение

На первый блок действуют: сила тяжести \(m\vec g\) и сила натяжения нижней нити, равная \(mg\) (направлены вниз), две силы натяжения охватывающей его нити \(\vec N_1\), направленные вверх (см. рисунок). Отсюда следует, что сила натяжения нити, охватывающей нижний блок, равна \[N_1 = mg.\]

На второй блок действует сила тяжести \(m\vec g\) и сила натяжения первой нити, равная \(mg\) (направлены вниз), две силы натяжения охватывающей его нити \(\vec N_2\), направленные вверх (см. рисунок). Отсюда следует, что сила натяжения нити, охватывающей нижний блок, равна \[N_2 = mg.\]

Продолжая рассуждения дальше, найдём, что силы натяжения всех нитей и, в том числе, нити, охватывающей 2024 блок, равны \[N_{2024} = mg.\]

Подсказка

Мощность нагревателя возрастает при уменьшении его сопротивления. Какое минимальное сопротивление может иметь участок провода с ограничением по току \(I = 1\) А? Что можно сделать с остатком провода?

Ответ

\(P_{\max} = 880\) Вт.

Решение

Поскольку напряжение сети не зависит от нагрузки, из закона Джоуля-Ленца \[P = \frac{U^2}{r},\] где \(r\) — сопротивление нагревателя. Заключаем, что мощность нагревателя будет максимальной при условии максимального количества соединений полюсов сети проволоками с минимальным сопротивлением. Но сопротивление каждой проволоки нельзя сделать меньше, чем \(r = 220\) Ом, поскольку ток через проволоку не должен превосходить 1 А. Поэтому можно разрезать проволоку на 4 части, три с сопротивлением \(r = 220\) Ом; останется кусок с сопротивлением \(r_1 = 120\) Ом. По условию этот кусок нельзя выбросить, но из него можно сделать проводник с сопротивлением, практически равным нулю (разрезав его на множество маленьких участков и соединив их параллельно), и включить последовательно любому из участков. Поэтому максимальная мощность нагревателя определяется соотношением \[P_{\max} = 4\,\frac{U^2}{r} = 880~\text{Вт}.\]

Подсказка

Какие газы определяют давление с каждой стороны перегородки после того, как аргон начал проходить сквозь неё? Сравните число молей по обе стороны.

Ответ

\(\Delta x = \dfrac{l}{6}\) (перегородка смещается вправо, к кислороду).

Решение

Поскольку перегородка подвижна, давление газов слева и справа от перегородки одинаково. Первоначально справа содержится вдвое большее количество вещества, поэтому и объём правой части сосуда должен быть вдвое больше объёма левой части. Поэтому перегородка находится на расстоянии \(l/3\) от левого конца сосуда.

После того, как перегородка станет прозрачной для аргона, он будет оказывать на неё одинаковое воздействие, где бы перегородка ни находилась. Поэтому аргон в балансе давлений можно не учитывать. А поскольку слева и справа от перегородки находится по одному молю газов, то в конечном состоянии перегородка будет располагаться посередине. Это значит, что перемещение перегородки можно найти так: \[\Delta x = \frac{l}{2} - \frac{l}{3} = \frac{l}{6}.\]

Подсказка

Стакан устойчив, если проекция центра тяжести стакана со стержнем на стол попадает внутрь дна. Найдите положение центра тяжести системы.

Ответ

\(m < \dfrac{M}{3}\), где \(m\) — масса стержня.

Решение

Если проекция центра тяжести стакана со стержнем на горизонтальную плоскость попадает внутрь дна стакана, то он будет стоять. Если нет, опрокинется. Найдём положение центра тяжести стакана со стержнем.

Поскольку стержень и стакан однородны, то центры тяжести этих тел находятся в их геометрических центрах (посередине). Поэтому проекция центра тяжести стакана со стержнем на горизонтальную плоскость будет находиться слева от точки А (и стакан будет в равновесии), если \[MR > m\left(\frac{l}{2}\cos\alpha - 2R\right),\] где \(R\) — радиус стакана, \(l\) — длина стержня, \(\alpha\) — угол наклона стержня к горизонту. С другой стороны, поскольку внутри стакана находится пятая часть длины стержня, то \[\cos\alpha = \frac{2R}{l/5} = \frac{10R}{l}.\] Отсюда и из полученного неравенства получаем условие равновесия стакана \[MR > 3mR \quad\text{или}\quad m < \frac{M}{3}.\]