Росатом, 2023/24, отборочный этап, 10 класс

Подсказка

Масса воды в третьем стакане после переливаний легко находится из сохранения воды. Дальше запишите баланс теплоты: сумма \(cmt\) по всем стаканам не меняется.

Ответ

\(t_1 = \dfrac{8}{3}\,t\).

Решение

Поскольку вода не терялась и не добавлялась в систему, в третьем стакане находится масса воды \(3m\). Сумма количеств теплоты, полученных всеми порциями воды, должна равняться нулю. Следовательно, сумма величин \(cmt\) (где \(c\) — удельная теплоёмкость воды) во всех стаканах не должна измениться по сравнению с её значением в начальном состоянии. Поэтому \[c\,m\,2t + c\,3m\,3t + c\,4m\,t = c\,3m\,t + c\,2m\,2t + c\,3m\,t_1 ,\] где \(t_1\) — искомая температура воды в третьем стакане. Отсюда \[t_1 = \frac{8}{3}\,t .\]

Подсказка

Нулевое показание вольтметра означает, что мост сбалансирован и ток через вольтметр не течёт. Используйте правило токов для узлов моста.

Ответ

\(U_{\text{ист}} = 20\) В;  \(R_1 = R_2 = r_V = 1\) кОм.

Решение

Вольтметр всегда показывает напряжение на самом себе. Так как его показание в исходной схеме равно нулю, ток через него не течёт. По правилу токов (сумма токов, входящих в узел, равна сумме выходящих) токи через верхние резисторы одинаковы, и, следовательно, на них одинаковые напряжения, равные половине напряжения источника. Аналогично одинаковы токи через нижние резисторы, и на них одинаковые напряжения, равные половине напряжения источника (чтобы напряжение на вольтметре было равно нулю). Значит, сопротивления нижних резисторов равны друг другу: \[R_1 = R_2 .\] После перемены местами вольтметра и резистора \(R_1\) токи через оба верхних резистора не изменились и остались равными друг другу. Отсюда по правилу токов заключаем, что ток через мост цепи в этом случае (резистор \(R_1\)) не течёт. Следовательно, через вольтметр и резистор \(R_2\) текут одинаковые токи и на них одинаковое напряжение, равное половине напряжения источника. Поэтому \[U_{\text{ист}} = 2U_0 = 20~\text{В} \quad\text{и}\quad R_1 = R_2 = r_V = 1~\text{кОм}.\]

Подсказка

Сразу после изменения силы пружина не успевает деформироваться, а натяжение нити может измениться. Запишите второй закон Ньютона для каждого тела.

Ответ

\(a = \dfrac{F}{6m}\).

Решение

Поскольку на тела действует внешняя сила, а они покоятся, пружина растянута, и силы упругости пружины и натяжения нити равны внешней силе \(F\): \[F_{\text{упр}} = F, \qquad T = F .\] Сразу после мгновенного уменьшения внешней силы тела ещё не успеют переместиться, поэтому сила упругости не изменится. А вот сила натяжения нити может измениться: так как нить нерастяжима, сила натяжения возникает и изменяется при бесконечно малых изменениях положений тел. Силы, действующие на тела, показаны на рисунке.

Второй закон Ньютона для тел даёт \[2ma = F_{\text{упр}} - T_1 , \qquad ma = T_1 - \frac{F}{2} ,\] причём ускорения тел \(a\) и модули сил натяжения \(T_1\) одинаковы, так как нить нерастяжима и невесома. Подставляя в эту систему уравнений силу упругости \(F_{\text{упр}} = F\) и решая её, найдём ускорения тел \[a = \frac{F}{6m} .\]

Подсказка

Выразите силы натяжения нитей через силу натяжения \(T\) левой нити и учтите, что на правое тело через блок действует вдвое большая сила.

Ответ

\(\rho_2 = 1{,}65\) г/см\(^3\).

Решение

Пусть сила натяжения нити, привязанной к левому телу, равна \(T\). Тогда сила натяжения нити, привязанной к правому телу, равна \(2T\). Условия равновесия тел: \[T + F_{A,1} - m_1 g = 0, \qquad 2T + F_{A,2} - m_2 g = 0 ,\] где \(F_{A,1}\) и \(F_{A,2}\) — силы Архимеда, действующие на левое и правое тела соответственно, \(m_1\) и \(m_2\) — их массы. Используя формулу для силы Архимеда, действующей на тело, частично погружённое в жидкость, и выражая массы тел через их плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\) и объём (который по условию одинаков у обоих тел), получим \[T + \rho_0 g \frac{1}{4}V - \rho_1 g V = 0 , \qquad 2T + \rho_0 g \frac{3}{4}V - \rho_2 g V = 0 .\] Умножая первое уравнение на 2 и вычитая уравнения друг из друга, получим \[\rho_2 = 2\rho_1 + \frac{1}{4}\rho_0 = 1{,}65~\text{г/см}^3 .\]

Подсказка

Флаг направлен вдоль скорости ветра относительно корабля. Проекции скорости ветра относительно земли на курс и на перпендикуляр к нему одинаковы до и после увеличения скорости. Используйте закон сложения скоростей.

Ответ

\(u = v\,\dfrac{\sqrt{(\mathrm{tg}\,\alpha - 2\,\mathrm{tg}\,\beta)^2 + \mathrm{tg}^2\alpha\,\mathrm{tg}^2\beta}}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta}\).

Решение

Флаг на корабле развевается в направлении скорости ветра в системе отсчёта, связанной с кораблём. По закону сложения скоростей \[\vec v_{\text{в.о.з.}} = \vec v_{\text{в.о.к.}} + \vec v_{\text{к.о.з.}} ,\] где \(\vec v_{\text{в.о.з.}}\) — скорость ветра относительно земли (величину, которой нужно найти), \(\vec v_{\text{к.о.з.}} = \vec v\) — скорость корабля относительно земли, \(\vec v_{\text{в.о.к.}}\) — скорость ветра относительно корабля (в направлении которой развевается флаг). Треугольники, отвечающие закону сложения скоростей, показаны на рисунке.

В этих треугольниках известны одна сторона (скорость корабля относительно земли) и один угол (\(\alpha\) или \(\beta\)), но сами треугольники не определены. Тем не менее скорость корабля из двух треугольников найти можно. Основная идея в том, что в этих треугольниках одинаковы одна сторона (скорость ветра относительно земли) и угол между вектором скорости ветра относительно земли и скоростью корабля (по условию направление курса корабля не менялось). Поэтому проекции скорости ветра относительно земли на направление скорости корабля и перпендикулярное ему одинаковы до и после увеличения скорости.

Пусть эти проекции равны \(v_\perp\) и \(v_\parallel\). Тогда из треугольников сложения скоростей имеем \[\mathrm{tg}(\pi - \alpha) = -\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{v_\perp}{v - v_\parallel} , \qquad \mathrm{tg}(\pi - \beta) = -\mathrm{tg}\,\beta = \frac{v_\perp}{2v - v_\parallel} .\] Решая эту систему уравнений относительно величин \(v_\perp\) и \(v_\parallel\), получаем \[v_\perp = \frac{v(\mathrm{tg}\,\alpha - 2\,\mathrm{tg}\,\beta)}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} , \qquad v_\parallel = \frac{v\,\mathrm{tg}\,\alpha\,\mathrm{tg}\,\beta}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} .\]

В результате из теоремы Пифагора находим скорость ветра \[u = \sqrt{v_\perp^2 + v_\parallel^2} = v\,\frac{\sqrt{(\mathrm{tg}\,\alpha - 2\,\mathrm{tg}\,\beta)^2 + \mathrm{tg}^2\alpha\,\mathrm{tg}^2\beta}}{\mathrm{tg}\,\alpha - \mathrm{tg}\,\beta} .\]